Generadores congruenciales lineales

01 · Punto de partida

Una línea que generó décadas de simulación

Después del museo del Tema 11, toca abrir el motor que ganó por simple y rápido: el generador congruencial lineal (GCL) de Lehmer. Una multiplicación, una suma y un resto. Con eso y una semilla produces millones de valores por segundo con teoría conocida.

Pero simple no es inocente: dos GCL con el mismo m y distinto a pueden ser uno excelente y otro desastroso (ya lo viste con 5,3 vs 4,2). Este tema enseña la mecánica; los Temas 13–14 enseñan la elección.

• ¿Qué significa cada letra de (a·x + c) mod m?
• ¿Qué diferencia hay entre mixto y multiplicativo?
• ¿Cómo se itera a mano sin perderse?
• ¿Cómo se implementa sin overflow ni sesgo?

02 · Definición

Anatomía de la receta

03 · Paso a paso

Iterar a mano sin perderse

Con x₀=7, a=5, c=3, m=16:

Paso 1

x₁ = (5·7+3) mod 16 = 38 mod 16 = 6 → u₁ = 6/16 = 0,375.

Paso 2

x₂ = (5·6+3) mod 16 = 33 mod 16 = 1 → u₂ = 0,0625.

Paso 3

x₃ = (5·1+3) mod 16 = 8 → u₃ = 0,5. Ya ves saltos, no orden.

Regla

Siempre multiplicar → sumar → resto → dividir. El resto es lo que dobla la recta en anillo.

04 · Ejemplos

Tres GCL para calibrar

1. 1
   Didáctico bueno.

   (5,3,16,7): período 16, salta sin orden visible. Para aprender, no para producir.

2. 2
   Park–Miller mínimo.

   (16807,0,2³¹−1): estándar histórico, período ~2·10⁹. Multiplicativo: semilla nunca 0.

3. 3
   RANDU (no usar).

   (65539,0,2³¹): rápido y con triplas en 15 planos. El ejemplo de qué no elegir.

05 · Implementación en Python

Generador como iterador

Esta forma con yield separa estado de consumo y te servirá para todos los generadores del curso.

def gcl(semilla, a=5, c=3, m=16):
    x = semilla
    while True:
        x = (a * x + c) % m
        yield x / m


g = gcl(7)
print([round(next(g), 4) for _ in range(8)])

Ocho uniformes que cubren [0,1) sin orden obvio. Resembrar es crear otro gcl(otra_semilla).

Park–Miller en Python (sin overflow)

def park_miller(semilla, n=5):
    a, m = 16807, 2**31 - 1
    x = semilla
    sal = []
    for _ in range(n):
        x = (a * x) % m
        sal.append(round(x / m, 6))
    return sal


print(park_miller(1))

06 · Exploración

Laboratorio: la receta bajo la lupa

Mové a, c, semilla y N con m = 16 fijo para ver la mecánica. El panel lista los primeros 6 x, el período y la media. La línea vertical marca el fin del primer ciclo.

Cada punto es u(n)=x(n)/16. Pasada la marca, el dibujo se repite: el mod cerró el anillo.

Preguntas para explorar

1. Con (7,5,3), anotá los 6 primeros x a mano y compará con el panel. ¿Coinciden?
2. Poné c = 0 con semilla 0: ¿qué pasa? ¿Y con semilla 7?
3. Poné (7,4,2): ¿período? ¿Media «buena» igual? ¿Qué dice eso de juzgar por media?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: iterar a mano y verificar

Calculá x₁, x₂, x₃ desde 7 con (5,3,16) a mano y verificá con código.

x = 7
for i in range(3):
    x = (5 * x + 3) % 16
    print(i + 1, x, round(x / 16, 4))

Ejercicio 2: mixto vs. multiplicativo desde 0

Compará ambos desde semilla 0 con el mismo a. ¿Cuál sobrevive?

def seq(s, a, c, m, n=6):
    x = s
    sal = []
    for _ in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        sal.append(x)
    return sal


print(seq(0, 5, 3, 16))
print(seq(0, 5, 0, 16))

Ejercicio 3: bits bajos débiles

Con m potencia de 2, el bit menos significativo alterna con período ≤ 2. Observá la paridad de la secuencia.

x = 7
par = []
for _ in range(10):
    x = (5 * x + 3) % 16
    par.append(x % 2)
print(par)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema diseccionaremos cada parámetro de un generador congruencial: qué rompe cada uno cuando se elige mal.