Propiedades deseables de un generador

01 · Punto de partida

De «genera números» a «genera confianza»

Cualquier fórmula escupe números. La pregunta del Tema 6 fue ¿puedo repetirlos?; la de hoy es ¿puedo creerles? Un generador pobre sesga promedios, inventa correlaciones y repite ciclos sin avisarte, y tu simulación hereda cada defecto (Tema 44).

Por suerte no hay que creer por fe: hay propiedades exigibles y chequeos rápidos que separan lo usable de lo tramposo antes de entrar en pruebas formales (Temas 26–32).

• ¿Qué 5 propiedades definen un buen generador?
• ¿Por qué media 0,5 no alcanza para declarar uniformidad?
• ¿Cómo se huele correlación y período corto con poco código?
• ¿Qué compensaciones hay entre velocidad, calidad y seguridad?

02 · Definición

Las cinco exigencias

A esas tres se suman dos prácticas, sin las cuales ni el mejor estadístico sirve:

Eficiencia

Millones de valores por segundo con poca memoria. Un generador perfecto pero lentísimo no se usa (y uno rapidísimo pero sesgado tampoco).

Reproducibilidad y portabilidad

Misma semilla, misma secuencia en cualquier máquina y lenguaje, con parámetros documentados. Sin esto no hay ciencia (Tema 6).

03 · Olfato

Cómo oler un generador malo en un minuto

Antes de los tests formales, tres olfatos con 10 líneas:

Histograma plano

Dividí [0,1) en 10 bins y contá: todos deben rondar N/10. Un bin vacío o doble delata sesgo grosero.

Nube sin forma

Graficá pares (u(n), u(n+1)): deben llenar el cuadrado sin diagonales, bandas ni rejillas. Una diagonal es correlación total.

Sin repetición prematura

Contá estados distintos en N: si N = 200 y solo hay 8 distintos, el período es un chiste.

04 · Ejemplos

Bueno y malo con la misma cara

Con módulo 64 ambos generan «decimales entre 0 y 1» y promedian ~0,5 en N chico. La diferencia aparece al exigir:

1. 1
   Bueno didáctico.

   x(n+1) = (13·x(n)+7) mod 64: período 64 completo, histograma parejo, vecinos sin forma.

2. 2
   Malo didáctico.

   x(n+1) = (4·x(n)+2) mod 64: ciclo de ~8, bins vacíos, correlación brutal. Promedia «bien» y miente igual.

3. 3
   Moraleja.

   El promedio no distingue; el histograma + vecinos + período sí. Por eso se exigen las tres.

05 · Chequeo en Python

Tres números que delatan

Media, varianza y correlación lag-1 en 20 líneas: tu kit de olfato desde hoy hasta el Tema 32.

import random

random.seed(11)
vals = [random.random() for _ in range(2000)]
media = sum(vals) / len(vals)
var = sum((v - media) ** 2 for v in vals) / len(vals)
print("media:", round(media, 4), "(esperado 0,5)")
print("var:", round(var, 4), "(esperado 0,0833)")

Con 2000 valores sanos, media 0,48–0,52 y varianza 0,078–0,088 son normales. Fuera de ahí, sospechá.

Correlación con el vecino

Si saber u(n) te dice algo de u(n+1), hay dependencia. Cerca de 0 es sano; cerca de ±1 es alarma:

def corr_lag1(vals):
    n = len(vals)
    m = sum(vals) / n
    num = sum((vals[i] - m) * (vals[i + 1] - m) for i in range(n - 1))
    den = sum((v - m) ** 2 for v in vals)
    return num / den if den else 0


malo = []
x = 7
for _ in range(2000):
    x = (4 * x + 2) % 64
    malo.append(x / 64)
print("corr mala:", round(corr_lag1(malo), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: radar bueno vs. malo

Elegí el generador y N. El canvas muestra el histograma en 8 bins (línea punteada = altura ideal N/8). El panel calcula media, correlación lag-1 y estados distintos.

Barras parejas = uniformidad; barras con huecos = sesgo grosero aunque la media parezca razonable.

Preguntas para explorar

1. Con N = 64, ¿el bueno llena los 8 bins? ¿Y el malo cuántos bins deja vacíos?
2. Subí a N = 2048: ¿el malo «mejora» o los huecos se confirman? ¿Por qué más N no cura un mal generador?
3. Si solo miraras la media, ¿detectarías al malo? ¿Qué métrica lo delata primero?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: media y varianza del bueno

Generá 2000 valores del bueno didáctico y verificá media y varianza contra 0,5 y 1/12.

def gen(semilla, a, c, m, n):
    x = semilla
    sal = []
    for _ in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        sal.append(x / m)
    return sal


v = gen(7, 13, 7, 64, 2000)
m = sum(v) / len(v)
var = sum((x - m) ** 2 for x in v) / len(v)
print(round(m, 4), round(var, 4))

Ejercicio 2: histograma en 8 bins

Contá cuántos caen en cada octavo de [0,1) para el bueno y el malo con N = 640. ¿Cuál deja bins vacíos?

def hist(semilla, a, c, m, n, k=8):
    x = semilla
    bins = [0] * k
    for _ in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        bins[int((x / m) * k)] += 1
    return bins


print("bueno:", hist(7, 13, 7, 64, 640))
print("malo:", hist(7, 4, 2, 64, 640))

Ejercicio 3: correlación del malo

Calculá la correlación lag-1 de ambos y compará con 0. ¿Cuál se acerca a ±1?

def corr(v):
    m = sum(v) / len(v)
    num = sum((v[i] - m) * (v[i + 1] - m) for i in range(len(v) - 1))
    den = sum((x - m) ** 2 for x in v)
    return num / den


def gen(semilla, a, c, m, n):
    x = semilla
    sal = []
    for _ in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        sal.append(x / m)
    return sal


print("bueno:", round(corr(gen(7, 13, 7, 64, 2000)), 4))
print("malo:", round(corr(gen(7, 4, 2, 64, 2000)), 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En los próximos tres temas abriremos cada exigencia: uniformidad, independencia y período de un generador.