Ajuste de distribuciones a datos reales

01 · Punto de partida

Que los datos elijan la curva

Ajustar es proponer 2–3 candidatas (tema 25), calibrarlas con momentos (tema 32) y quedarse con la que mejor explica el histograma sin complicarse de más. El ojo compara formas; el número compara errores; la parsimonia desempata.

Un ajuste que ignora colas fabrica riesgo barato; uno con 6 parámetros para 50 datos fabrica humo. Ajustar es decidir con evidencia, no ganar un concurso de curvas.

• ¿Qué 2–3 candidatas propone el fenómeno?
• ¿Cuál calca histograma, media y colas?
• ¿El error justifica un parámetro más?
• ¿El ajuste aguanta datos nuevos?

02 · Definición

Tres formas de comparar

03 · Pasos del ajuste

Receta de 4 pasos

Colas mandan

Dos ajustes con igual centro se desempatan en P(X mayor a t): la que calca la cola decide stock y SLA.

Sobreajuste

6 parámetros para 60 datos memorizan ruido. Validar en otra mitad lo delata.

Mezclas

Dos picos piden mezcla o segmentar (mañana/tarde), no forzar una campana.

Empírica

Si ninguna cierra y hay cientos de datos, remuestrear (tema 30) hasta tener teoría.

04 · Ejemplos

Ajustes que cambian modelos

1. 1
   Atención.

   Campana → normal. Pico en 2 con cola → gamma, no normal.

2. 2
   Demanda.

   Plana → uniforme. Joroba → triangular/normal.

3. 3
   Llegadas.

   Conteos con media ≈ var → Poisson. Var mayor → binomial negativa.

4. 4
   Espera.

   Decae de 0 → exponencial. Pico interior → Erlang.

5. 5
   Doble turno.

   Dos picos → mezcla o segmentar, jamás una sola campana.

05 · Representación en Python

Calibrar 3 y comparar errores

import random, statistics, math
random.seed(341)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(800)]

mu = statistics.mean(xs)
s = statistics.stdev(xs)
a, b = min(xs), max(xs)
m = mu - min(xs)  # para exp desplazada
print("normal:", round(mu,2), round(s,2), "| unif:", round(a,1), round(b,1), "| expmedia:", round(m,2))

Consejo: calibrar es momentos; comparar es histogramas. No mezclar pasos.

Error histograma vs f

import math
# 8 tramos 6-14, normal(10,2) vs uniforme(6,14): ¿cuál calca?
import random, statistics
random.seed(7)
xs = [random.gauss(10,2) for _ in range(2000)]
w = 1.0
def err(f):
    s = 0
    for b in range(6, 14):
        h = sum(1 for x in xs if b <= x < b+1)/(len(xs)*w)
        s += (h - f(b+0.5))**2
    return s
fn = lambda x: math.exp(-0.5*((x-10)/2)**2)/(2*math.sqrt(2*math.pi))
print("normal:", round(err(fn),4), "| unif:", round(err(lambda x: 1/8),4))

06 · Exploración

Laboratorio: torneo de 3 candidatas

Datos verdaderos a elegir: campana, plana, sesgada, bimodal. El laboratorio calibra Normal(x̄,s), Uniforme(mín,máx) y Exponencial desplazada, dibuja las 3 sobre el histograma y declara ganadora por menor Σ(hist−f)². Probá engañarlas con la bimodal.

Barras = histograma en densidad 4–16. Curvas: blanca normal, lima uniforme, naranja exponencial desplazada.

Preguntas para explorar

1. Con bimodal y n = 1000, ¿alguna gana convincente? ¿Qué harías?
2. Con n = 80, ¿el ganador es estable al pulsar Nueva réplica?
3. ¿Qué candidata falla siempre en sesgada? ¿Por qué?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: torneo manual

Con 800 N(10,2), calibrá las 3 y compará errores con 14 tramos 4–16.

import random, statistics, math
random.seed(341)
xs = [random.gauss(10,2) for _ in range(800)]
mu, s, a, b = statistics.mean(xs), statistics.stdev(xs), min(xs), max(xs)
lam = 1/(mu-a)
print("mu,s,a,b,lam:", round(mu,2), round(s,2), round(a,1), round(b,1), round(lam,3))

Ejercicio 2: colas desempatan

Con los mismos datos, compará P(X mayor a 12) real vs normal(x̄,s) vs uniforme(mín,máx).

import random, statistics
random.seed(8)
xs = [random.gauss(10,2) for _ in range(2000)]
real = sum(1 for x in xs if x > 12)/len(xs)
print("real:", round(real,3), "| normal ≈ 0.159 | unif(6,14):", (14-12)/8)

Ejercicio 3: validar en mitades

Partí 1000 datos en 500/500, ajustá en una mitad y medí error en la otra. ¿Cambia el ganador?

import random, statistics, math
random.seed(15)
xs = [random.gauss(10,2) for _ in range(1000)]
a, b = xs[:500], xs[500:]
mu = statistics.mean(a)
err = sum((1-0)**2 for _ in [])  # marcador: comparar medias
print("media ajusta:", round(mu,2), "| media valida:", round(statistics.mean(b),2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema leeremos curvas como un profesional: interpretación gráfica de distribuciones.