Correlación en modelos

01 · Punto de partida

Un número para el arrastre lineal

La dependencia (tema 37) se mide con r de Pearson: −1 a +1. Cerca de +1 suben juntas; de −1 opuestas; de 0 sin línea (pero puede haber curva). r manda en sumas: Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2·r·σx·σy.

En simulación, r positivo entre demandas infla picos conjuntos; negativo entre productos estabiliza caja. Generar con ρ dado es un truco estándar.

• ¿La nube tiene línea o curva?
• ¿r cuánto da y con qué n?
• ¿La suma se amplifica o se compensa?
• ¿Cómo genero pares con el ρ observado?

02 · Definición

Lectura de r y de la nube

03 · Generar con ρ dado

El truco de la combinación

Covarianza

r·σx·σy en unidades cuadradas. r la normaliza a −1…+1.

Pendiente

Recta Y sobre X: r·σy/σx. No es causalidad: es ajuste lineal.

No lineal

r = 0 con curva en U: correlación nula, dependencia total. Graficar siempre.

Rango

r con n chico salta ±0,3. Tasas con cientos para publicar.

04 · Ejemplos

r que dimensiona

1. 1
   Lluvia.

   r = +0,8 entre paraguas e impermeable: stock conjunto, no por separado.

2. 2
   Verano/invierno.

   r = −0,6 entre dos temporadas: diversificar estabiliza.

3. 3
   Pico.

   Llegadas y espera r = +0,7: refuerzo conjunto en pico.

4. 4
   Medidas.

   Peso y altura r = +0,6: predecir uno con otro (recta).

5. 5
   Ruido.

   r ≈ 0 con curva: buscar forma no lineal antes de declarar independencia.

05 · Representación en Python

Generar y medir r

import random, math, statistics
random.seed(381)
rho, N = 0.7, 2000
xs, ys = [], []
for _ in range(N):
    z1 = random.gauss(0,1); z2 = random.gauss(0,1)
    xs.append(10+2*z1)
    ys.append(10+2*(rho*z1+math.sqrt(1-rho**2)*z2))
mx, my = statistics.mean(xs), statistics.mean(ys)
cov = sum((a-mx)*(b-my) for a,b in zip(xs,ys))/len(xs)
print("r:", round(cov/(statistics.stdev(xs)*statistics.stdev(ys)), 3))

Consejo: con N = 50 r salta ±0,2; con 2000 se pega a ρ.

Varianza de la suma

import statistics
ss = [a+b for a,b in zip(xs,ys)]
print("s suma:", round(statistics.stdev(ss),2), "| teo:", round((4+4+2*0.7*4)**0.5,2))

06 · Exploración

Laboratorio: ρ pedido vs r medido

Pedí ρ: la nube y la recta se alargan. El laboratorio genera N pares, mide r muestral y la s de la suma vs teórica √(8+8ρ). La línea blanca es la diagonal perfecta.

Ejes 4 a 16. En suma se ve el ancho: con ρ = 0,9 la campana se ensancha; con −0,9 se afina.

Preguntas para explorar

1. Con ρ = 0 y N = 800, ¿r cuánto da? ¿La suma qué ancho tiene?
2. Con ρ = 0,9, ¿s suma cuánto da vs teórica? ¿Qué stock pedirías?
3. Con ρ = −0,9, ¿por qué la suma se concentra? ¿Cuándo conviene?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: r pedido vs medido

Con ρ = −0,6 y N = 1500, medí r y s de la suma (σ = 2). Teóricas: −0,6 y √(8−4,8).

import random, math, statistics
random.seed(381)
rho, N = -0.6, 1500
xs, ys = [], []
for _ in range(N):
    z1, z2 = random.gauss(0,1), random.gauss(0,1)
    xs.append(10+2*z1); ys.append(10+2*(rho*z1+math.sqrt(1-rho**2)*z2))
print("teo s:", round((8+8*rho)**0.5,2), "| sim:", round(statistics.stdev([a+b for a,b in zip(xs,ys)]),2))

Ejercicio 2: pendiente

Con los mismos datos, ¿pendiente de Y sobre X? Teórica r·σy/σx = r.

# pendiente = cov/var(x)
mx, my = statistics.mean(xs), statistics.mean(ys)
cov = sum((a-mx)*(b-my) for a,b in zip(xs,ys))/len(xs)
print(round(cov/statistics.variance(xs),3))

Ejercicio 3: stock conjunto

Dos demandas N(100,15) con r = 0,8. ¿σ de la suma? ¿Stock +2σ?

import math
s = math.sqrt(225+225+2*0.8*225)
print(round(s,1), round(200+2*s))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema generaremos azar a pedido: muestreo.