Probabilidad condicional

01 · Punto de partida

Saber algo cambia la chance

La probabilidad de «esperar menos de 5 minutos» no es la misma a las 10 h que en hora pico. La probabilidad condicional P(A|B) responde: «si ya sé que ocurrió B, ¿cuál es la chance de A?». Es la herramienta para actualizar el modelo con información.

En simulación aparece en cada rama: si el cliente es prioritario, si la máquina pasó mantenimiento, si el visitante vio la oferta. Programar bien un if aleatorio es programar una condicional.

• ¿Qué información ya tengo antes de sortear?
• ¿Cómo cambia P(A) al saber B?
• ¿La condición filtra casos o cambia el mecanismo?
• ¿Cómo estimo P(A|B) contando solo los casos B?

02 · Definición

La fórmula y su lectura

Leemos: P(A) = 460/1000 = 0,46. Pero P(A|B) = 280/400 = 0,70 y P(A|Bᶜ) = 180/600 = 0,30. Saber la caja actualiza la chance de 0,46 a 0,70 o 0,30.

03 · Ramas del simulador

Dónde condicionar en tu modelo

Tabla de contingencia

Conteos cruzados A × B. De ella salen todas las condicionales dividiendo por fila o columna.

Árbol

Primero ramas B con P(B), luego A con P(A|B). Multiplicar ramas da la intersección.

Total

P(A) pondera cada rama: útil para verificar que la simulación ramificada cierra.

Error típico

Confundir P(A|B) con P(B|A). «P(rápido|prioridad)» no es «P(prioridad|rápido)».

04 · Ejemplos

Condicionales que deciden

1. 1
   Cola.

   P(espera menor a 5 | caja rápida) = 0,7 vs 0,3 en normal. Refuerza abrir la rápida en picos.

2. 2
   Ventas.

   P(compra | vio oferta) vs P(compra | no vio). Mide el efecto real de la oferta.

3. 3
   Soporte.

   P(resuelve al primer contacto | cliente nuevo) segmenta capacitación.

4. 4
   Máquinas.

   P(falla | pasó mantenimiento) vs P(falla | no pasó). Justifica el mantenimiento.

5. 5
   Juego.

   P(gana | tiene escudo) balancea objetos sin romper el juego base.

05 · Representación en Python

Contar dentro de la condición

La condicional se estima filtrando la lista: éxitos de A entre los casos B, no entre todos:

import random
random.seed(9)

# B = caja rápida con P=0.4. P(A|B)=0.7, P(A|no B)=0.3
N = 5000
AyB = B = A = 0
for _ in range(N):
    b = random.random() < 0.4
    a = random.random() < (0.7 if b else 0.3)
    B += b; A += a; AyB += (a and b)

print("P(A):", round(A / N, 3))
print("P(A|B):", round(AyB / B, 3))
print("total:", round(0.7*0.4 + 0.3*0.6, 3))

Consejo: el último número es la ley del total: 0,46. La simulación debe pegarse a él.

Tabla de contingencia en código

import random
random.seed(2)

# Contar los 4 casilleros y derivar condicionales
cas = {"AB": 0, "Ab": 0, "aB": 0, "ab": 0}
for _ in range(3000):
    b = random.random() < 0.4
    a = random.random() < (0.7 if b else 0.3)
    clave = ("A" if a else "a") + ("B" if b else "b")
    cas[clave] += 1
print(cas)
print("P(A|B):", round(cas["AB"] / (cas["AB"] + cas["aB"]), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: ramas que se verifican con el total

Simulamos clientes: con prob. q van a caja rápida. La prob. de atención veloz es p₁ en rápida y p₀ en normal. Las barras claras son teoría; las sólidas, simulación. La tercera barra P(A) debe cerrar con q·p₁ + (1−q)·p₀.

Tres grupos: P(A|B), P(A|Bᶜ) y P(A). N = 3000 fijo para que el error sea chico y se vea el cierre del total.

Preguntas para explorar

1. Igualá p₁ = p₀ = 0,5. ¿Qué pasa con la diferencia entre ramas? ¿Qué significa?
2. Poné q = 0,1. ¿La estimación de P(A|B) salta más o menos? ¿Por qué?
3. Si P(A|B) = 0,9 y P(A|Bᶜ) = 0,2 con q = 0,5, ¿cuánto vale P(A)? Verificalo en el laboratorio.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer la tabla

Con la tabla de 1000 clientes de la sección 02, calculá P(B|A): de los veloces, ¿qué fracción usó caja rápida?

# Tabla: AB=280, aB=120, Ab=180, ab=420
AB, Ab = 280, 180
print("P(B|A):", round(AB / (AB + Ab), 3))
print("P(A|B):", round(AB / (AB + 120), 3))

Ejercicio 2: verificar el total

Con q = 0,25, p₁ = 0,8, p₀ = 0,4, calculá el total exacto y verificalo con 8000 réplicas.

import random
random.seed(11)
q, p1, p0, N = 0.25, 0.8, 0.4, 8000
ex = sum(1 for _ in range(N) if random.random() < (p1 if random.random() < q else p0))
print("sim:", round(ex / N, 3), "| total:", round(q*p1 + (1-q)*p0, 3))

Ejercicio 3: segmento chico, error grande

Con q = 0,05 estimá P(A|B) con N = 2000. Repetilo con 3 semillas y mirá el salto. ¿Qué harías?

import random

def est(semilla, q=0.05, p1=0.7, N=2000):
    random.seed(semilla)
    b = a_y_b = 0
    for _ in range(N):
        if random.random() < q:
            b += 1
            if random.random() < p1:
                a_y_b += 1
    return a_y_b / b, b

for s in [1, 2, 3]:
    print(s, [round(v, 3) if isinstance(v, float) else v for v in est(s)])

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos cuándo la condición no cambia nada: independencia.