Derivabilidad y continuidad

01 · Dos propiedades locales

Continuidad y derivabilidad responden preguntas diferentes

La continuidad en x = a pregunta si los valores de la función se aproximan a f(a) cuando la entrada se aproxima a a. La derivabilidad pregunta si el cociente incremental se aproxima a una pendiente finita.

Una pendiente local requiere más regularidad que la simple ausencia de rupturas. La relación correcta es:

02 · Condiciones de continuidad

Qué debe ocurrir en el punto

Una función es continua en a cuando se cumplen simultáneamente tres condiciones:

1. 1
   Existe f(a)

   El punto pertenece al dominio de la función.

2. 2
   Existe lim f(x) cuando x → a

   Los valores de ambos lados se aproximan a un mismo número finito.

3. 3
   El límite coincide con f(a)

   El comportamiento cercano y el valor puntual cuentan la misma historia.

De manera equivalente, podemos expresar la continuidad mediante incrementos:

O restando el valor puntual a ambos lados:

03 · Teorema fundamental

Derivabilidad implica continuidad

Supongamos que f′(a) existe. Por definición:

Para h ≠ 0, podemos reescribir el incremento de salida como un producto:

Tomamos el límite de ambos factores cuando h → 0:

Por lo tanto:

Esta es exactamente la condición de continuidad en a. La demostración depende de que f′(a) sea un número finito: un cociente que tiende a ese valor, multiplicado por un incremento que tiende a cero, produce un cambio de salida que tiende a cero.

04 · Interpretar el argumento

Una aproximación lineal obliga a cerrar el salto

La existencia de la derivada permite escribir, cerca de a, la idea:

Si el cambio de entrada se hace pequeño y la pendiente permanece próxima a un número finito, el cambio de salida también debe hacerse pequeño. No puede persistir un salto fijo.

La demostración no afirma que toda función continua tenga una pendiente. Solo muestra que una función con pendiente local finita no puede ser discontinua allí.

05 · La recíproca es falsa

Continua no significa derivable

Invertir una implicación produce una afirmación diferente:

La continuidad controla los valores de la función, pero no exige que las pendientes secantes tengan una única tendencia. Una curva puede permanecer unida y aun presentar una esquina, una cúspide, una dirección vertical u oscilaciones cada vez más rápidas.

06 · Contraejemplo clásico

La esquina de f(x) = |x|

La función valor absoluto es continua en 0 porque:

Sin embargo, su cociente incremental en cero es:

Los límites laterales de los cocientes no coinciden. La gráfica permanece unida, pero no tiene una única dirección tangente en la esquina.

07 · Más formas de fallar

Continuidad sin pendiente finita

Estos ejemplos muestran que no existe una única causa de no derivabilidad. La continuidad solo garantiza que los valores se unen; no controla suficientemente la dirección local.

08 · Una consecuencia útil

Discontinua implica no derivable

La contraposición de «derivable implica continua» es lógicamente equivalente:

Esto permite descartar rápidamente la derivabilidad. Si detectamos un salto, un hueco no completado o una divergencia en a, no necesitamos calcular el cociente incremental: la derivada no puede existir allí.

09 · Condiciones necesarias y suficientes

Leer correctamente una implicación

Condición necesaria

La continuidad es necesaria para ser derivable: sin continuidad no puede haber derivada.

Condición suficiente

La derivabilidad es suficiente para garantizar continuidad: no hace falta comprobarla por separado.

En pseudocódigo lógico:

// Implicación matemática válida en un punto interior:
if (esDerivable) {
  esContinua = true;
}

// Esta conclusión NO es válida:
if (esContinua) {
  // esDerivable podría ser true o false.
}

Confundir condición necesaria con suficiente es la fuente principal de errores en este tema.

10 · Puntos de unión

Primero unir valores, luego unir pendientes

En una función definida mediante fórmulas diferentes a cada lado de a, el análisis sigue dos niveles:

1. Comprobar que los valores laterales y f(a) coincidan.
2. Si hay continuidad, comparar los cocientes incrementales o pendientes laterales.

Por ejemplo:

En x = 1, ambas fórmulas producen 1, de modo que la función es continua. La pendiente del tramo izquierdo se aproxima a 2 y la del derecho es 2; por lo tanto, también es derivable allí.

Si el segundo tramo fuera 3x − 2, la función seguiría siendo continua en 1, pero las pendientes laterales serían 2 y 3. El análisis sistemático de funciones por partes se retomará en el tema 28.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: continuidad frente a derivabilidad

Reducí |h| y observá dos pruebas diferentes: los cambios de salida indican continuidad; los cocientes laterales indican derivabilidad.

Los puntos laterales muestran cambios de salida y determinan secantes. La continuidad exige que los puntos se acerquen a f(a); la derivabilidad exige además que las pendientes coincidan.

Preguntas para explorar

1. En x², observá cómo tanto los cambios como la diferencia entre pendientes disminuyen.
2. En |x|, comprobá que los cambios tienden a cero pero las pendientes no coinciden.
3. En la función oscilatoria, separá el comportamiento de los valores del de los cocientes.
4. En el salto, verificá que ni siquiera se supera la primera prueba: los cambios no tienden a cero.

12 · Exploración computacional

Separar las dos preguntas en código

Podemos generar evidencia numérica para continuidad y derivabilidad sin confundir sus criterios:

function explorarPunto(f, a, h) {
  if (h <= 0) throw new Error("h debe ser positivo");

  const fa = f(a);
  const cambioIzquierdo = f(a - h) - fa;
  const cambioDerecho = f(a + h) - fa;

  return {
    continuidad: {
      cambioIzquierdo,
      cambioDerecho
    },
    derivabilidad: {
      pendienteIzquierda: cambioIzquierdo / -h,
      pendienteDerecha: cambioDerecho / h
    }
  };
}

console.log(explorarPunto(x => Math.abs(x), 0, 1e-4));

Para |x|, ambos cambios de salida son pequeños, pero los cocientes valen −1 y 1. El mismo conjunto de evaluaciones aporta evidencia para dos preguntas distintas.

Una clasificación explícita

const propiedades = {
  cuadratica: { continua: true, derivable: true },
  valorAbsolutoEnCero: { continua: true, derivable: false },
  saltoEnCero: { continua: false, derivable: false }
};

for (const [nombre, estado] of Object.entries(propiedades)) {
  if (estado.derivable && !estado.continua) {
    throw new Error(`${nombre}: estado matemáticamente imposible`);
  }
  console.log(nombre, estado);
}

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de razonamiento

Ejercicio 1: usar el teorema

Se sabe que f′(4) = −3. ¿Qué podés concluir sobre la continuidad de f en 4?

Ejercicio 2: evitar una conclusión inválida

Se sabe que g es continua en 2. ¿Podemos afirmar que g′(2) existe?

Ejercicio 3: aplicar la contraposición

Una función tiene un salto en x = −1. ¿Es necesario calcular su cociente incremental para decidir si es derivable allí?

Ejercicio 4: función por partes

Una función vale x + 1 para x < 0 y 2x + 1 para x ≥ 0. Analizá continuidad y derivabilidad en cero.

Ejercicio 5: validar estados

Completá la función que detecta una combinación imposible.

function validarPropiedades(continua, derivable) {
  if (derivable && !continua) {
    return null; // completar
  }
  return "combinación posible";
}

function validarPropiedades(continua, derivable) {
  if (derivable && !continua) {
    return "imposible: derivable implica continua";
  }
  return "combinación posible";
}

console.log(validarPropiedades(false, true));
console.log(validarPropiedades(true, false));

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos las derivadas laterales y estudiaremos cómo interpretar la derivación en los extremos del dominio.