La derivada como función

01 · De un punto a todo el dominio

Cada entrada puede tener su propia pendiente

Hasta ahora calculamos derivadas en puntos concretos, como f′(2) = 4. Si repetimos ese cálculo para cada entrada donde el límite existe, obtenemos una nueva correspondencia:

Esa correspondencia es la función derivada, que denotamos mediante f′. Su valor en una entrada genérica se define por:

La letra x ya no representa un punto fijo particular. Recorre todas las entradas para las que el límite produce un valor real finito.

02 · Construcción punto a punto

Una tabla de valores de f′

Para f(x) = x², el cálculo desde la definición produjo f′(a) = 2a para un punto cualquiera a. Al reemplazar a por la variable genérica x, obtenemos:

La tabla de f′ no repite las alturas de la parábola. Registra las pendientes de sus tangentes en las mismas entradas.

03 · Regla general desde el límite

Mantener x como variable

El procedimiento para construir f′(x) es el mismo que usamos en un punto, pero conservamos x como símbolo:

Para f(x) = x² + 3x:

Cuando h → 0:

Esta expresión permite obtener la derivada en cualquier punto admitido sin repetir todo el límite: f′(0) = 3, f′(1) = 5 y f′(−2) = −1.

04 · Dónde está definida

El dominio de f′ puede ser más pequeño

La función derivada solo asigna un valor donde f es derivable. Por eso su dominio se obtiene analizando la existencia del límite en cada entrada:

Una entrada puede pertenecer al dominio de f y no al de f′. La función |x| tiene valor en cero, pero su esquina impide asignar allí una pendiente única.

05 · Relación visual

Qué representa el gráfico de f′

En el gráfico de f, el eje vertical representa valores de la función. En el gráfico de f′, representa pendientes de f. Para una misma entrada x = a:

Los puntos no suelen tener la misma altura. Para f(x) = x² en x = 3, el primer gráfico contiene (3, 9) y el segundo contiene (3, 6).

06 · Interpretar las salidas

Qué informa cada valor de f′

Esta lectura es local y puntual. El estudio sistemático de intervalos, extremos y forma global de las curvas corresponde al curso posterior de Aplicaciones de las Derivadas y Optimización.

07 · Patrones básicos

Cómo cambia el tipo de función

La derivación puede conservar o modificar la familia algebraica de una función:

Estas relaciones se justificaron o pueden justificarse desde la definición. Más adelante aprenderemos reglas que permiten obtenerlas sin repetir cada límite.

08 · Entrada y salida del operador

Derivar transforma funciones

Podemos pensar la derivación como un operador D:

La entrada de D es una función derivable y la salida es otra función. Esto es diferente de evaluar:

El orden de las operaciones importa. Primero construir f′ y luego evaluarla en a produce el mismo valor que calcular la derivada directamente en ese punto, siempre que ambas operaciones estén definidas.

09 · Huecos en la función derivada

Representar entradas sin derivada

Cuando f′(a) no existe, el gráfico de la derivada no tiene un punto asignado en x = a. Para f(x) = |x|:

El gráfico de f′ presenta dos tramos horizontales y ningún valor en cero. No debemos completar ese hueco con 0: la simetría de la función original no crea una tangente horizontal en la esquina.

En un programa podemos representar la ausencia de derivada mediante null, un resultado etiquetado o una excepción, según el contexto. Usar un número inventado ocultaría información matemática.

10 · Funciones de primera clase

Representar f y f′ en JavaScript

JavaScript permite almacenar funciones en variables y objetos. Podemos agrupar una función con su derivada conocida:

const modelo = {
  nombre: "f(x) = x² + 3x",
  f: x => x ** 2 + 3 * x,
  derivada: x => 2 * x + 3
};

for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    valor: modelo.f(x),
    pendiente: modelo.derivada(x)
  });
}

modelo.f y modelo.derivada son dos funciones independientes relacionadas por significado. JavaScript no deduce automáticamente una a partir de la otra.

Tabular funciones relacionadas

function tabularFuncionYDerivada(f, derivada, entradas) {
  return entradas.map(x => ({
    x,
    fx: f(x),
    derivada: derivada(x)
  }));
}

const f = x => x ** 3;
const derivada = x => 3 * x ** 2;

console.log(tabularFuncionYDerivada(f, derivada, [-2, -1, 0, 1, 2]));

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: dos gráficos sincronizados

Elegí una función y mové la entrada. El panel superior muestra f; el inferior muestra f′. La misma línea vertical conecta el punto de la función con el valor de su pendiente.

El gráfico superior representa valores de la función original. El inferior representa las pendientes locales almacenadas por la función derivada.

Preguntas para explorar

1. En x², compará entradas opuestas. ¿Cómo se relacionan las alturas de f y los signos de f′?
2. En x³, observá x = 0. ¿Qué muestra cada gráfico?
3. En 1/x, verificá que la derivada sea negativa a ambos lados del origen.
4. En |x|, ubicá x = 0. ¿Por qué el gráfico inferior no tiene un valor allí?

12 · Contratos en código

Comunicar cuándo la derivada no existe

Una función de JavaScript puede devolver un resultado discriminado para separar un número válido de la ausencia de derivada:

function derivadaValorAbsoluto(x) {
  if (x === 0) {
    return { existe: false, motivo: "límites laterales diferentes" };
  }

  return {
    existe: true,
    valor: x > 0 ? 1 : -1
  };
}

console.log(derivadaValorAbsoluto(-2));
console.log(derivadaValorAbsoluto(0));
console.log(derivadaValorAbsoluto(2));

Esta representación obliga al código consumidor a comprobar existe. Resulta más expresiva que devolver 0 y más informativa que propagar silenciosamente NaN.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de construcción

Ejercicio 1: formar una función derivada

Desde primeros principios se obtuvo que la derivada de f(x) = 4x² en un punto a es 8a. Escribí f′(x) y evaluá en x = −2.

Ejercicio 2: distinguir gráficos

Si f(2) = 10 y f′(2) = −3, ¿qué puntos aparecen en los gráficos de f y f′?

Ejercicio 3: comparar dominios

La función f(x) = |x − 2| está definida para todos los reales. ¿Cuál es el dominio de f′?

Ejercicio 4: interpretar una tabla

Una función derivada devuelve f′(−1)=2, f′(0)=0 y f′(1)=−4. Describí las tangentes de f en esas entradas.

Ejercicio 5: completar una tabla en código

Completá la evaluación de la derivada.

function tabular(f, derivada, entradas) {
  return entradas.map(x => ({
    x,
    fx: f(x),
    dfx: null // completar
  }));
}

function tabular(f, derivada, entradas) {
  return entradas.map(x => ({
    x,
    fx: f(x),
    dfx: derivada(x)
  }));
}

console.log(tabular(
  x => x ** 2,
  x => 2 * x,
  [-2, -1, 0, 1, 2]
));

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la relación entre derivabilidad y continuidad: por qué toda función derivable es continua en el punto y por qué la afirmación recíproca no es válida.