Derivadas de polinomios

01 · Reunir las reglas

De potencias aisladas a expresiones completas

Un polinomio es una suma finita de potencias enteras no negativas de la variable, cada una multiplicada por un coeficiente constante. Por ejemplo:

No necesitamos una regla completamente nueva. Cada término combina exactamente las ideas de los dos temas anteriores:

Así, el ejemplo anterior se transforma en:

02 · Anatomía de un polinomio

Coeficientes, exponentes y grado

La forma general de un polinomio de grado n es:

Los valores a₀, a₁, …, aₙ son constantes y aₙ ≠ 0. El mayor exponente con coeficiente no nulo determina el grado.

Término principal

aₙxⁿ, el término de mayor grado.

Coeficiente principal

aₙ, el factor del término de mayor grado.

Término lineal

a₁x, cuya derivada es a₁.

Término independiente

a₀, una constante cuya derivada es cero.

No es obligatorio escribir todos los exponentes. En 3x⁶ − 5x² + 1, los coeficientes de x⁵, x⁴, x³ y x son cero.

03 · Regla general

Multiplicar por el exponente y reducirlo

Aplicamos linealidad y la regla de la potencia a la forma general:

En términos de sumatoria:

La segunda suma comienza en k = 1 porque el término con k = 0 es constante y deriva en cero.

04 · Procedimiento completo

Derivar un polinomio paso a paso

Consideremos:

1. 1
   Separar términos con sus signos.

   −2x⁶, +5x⁴, −3x², +8x y −11.

2. 2
   Conservar cada coeficiente.

   −2·D[x⁶] + 5·D[x⁴] − 3·D[x²] + 8·D[x] − D[11].

3. 3
   Aplicar potencia y constante.

   −2·6x⁵ + 5·4x³ − 3·2x + 8·1 − 0.

4. 4
   Multiplicar y simplificar.

   P′(x) = −12x⁵ + 20x³ − 6x + 8.

El orden descendente de exponentes no es necesario para que la derivada sea correcta, pero facilita leer, comparar y verificar el resultado.

05 · Ceros implícitos

Los términos ausentes no generan términos nuevos

En el polinomio Q(x) = 7x⁸ − 2x³ + 4 faltan varias potencias intermedias. Podemos imaginar sus coeficientes nulos:

Al derivar, los términos con coeficiente cero siguen aportando cero:

No debemos «rellenar» la derivada con todas las potencias menores. Solo aparecen las derivadas de los términos efectivamente presentes.

06 · Pendiente en un punto

Primero obtener P′, después sustituir

Para calcular la pendiente de P(x) = 2x⁴ − x³ + 3x − 5 en x = −1:

El cálculo es:

Los paréntesis son esenciales al evaluar números negativos. (−1)² = 1, mientras que −1² suele interpretarse como −(1²).

Separar derivación y evaluación permite reutilizar P′ en muchos puntos y reduce la posibilidad de mezclar exponentes con valores numéricos.

07 · Cambio estructural

La derivada reduce el grado en una unidad

Si P tiene grado n ≥ 1, su término principal es aₙxⁿ. Al derivarlo obtenemos naₙxⁿ⁻¹. Como n y aₙ son distintos de cero, ese nuevo coeficiente tampoco es cero.

08 · Familias básicas

Constantes, rectas y cuadráticas

Para una cúbica P(x) = ax³ + bx² + cx + d, obtenemos P′(x) = 3ax² + 2bx + c. El término independiente siempre desaparece y los restantes bajan un nivel de grado.

Estas formas permiten revisar resultados de un vistazo: la derivada de una cuadrática no puede conservar un término cuadrático, y la derivada de una recta no puede depender de x.

09 · Estrategias de control

Cómo detectar errores antes de terminar

• ¿El grado máximo bajó exactamente una unidad?
• ¿Cada nuevo coeficiente es el anterior multiplicado por su exponente?
• ¿Los signos de los términos se conservaron?
• ¿Desapareció el término independiente?
• ¿La cantidad de términos no supera la del polinomio original?

Por ejemplo, si alguien propone que la derivada de 3x⁴ − 2x + 8 es 12x⁴ − 2, el grado revela inmediatamente el error: la derivada debería tener grado 3, no 4. El resultado correcto es 12x³ − 2.

10 · Modelo de datos

Representar un polinomio mediante coeficientes

Un programa puede guardar los coeficientes en orden ascendente de potencias. El arreglo:

representa a₀ + a₁x + a₂x² + ··· + aₙxⁿ. Por ejemplo:

// P(x) = 4x⁵ − 3x³ + 2x − 7
const coeficientes = [-7, 2, 0, -3, 0, 4];

Los ceros conservan la posición de las potencias ausentes. El índice del arreglo coincide con el exponente, lo cual vuelve directa la derivación: el coeficiente ubicado en k pasa a la posición k − 1 multiplicado por k.

También es posible almacenar los coeficientes en orden descendente. Ninguna convención es intrínsecamente mejor, pero debe documentarse y mantenerse de forma consistente.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: polinomio, derivada y tangente

Elegí un polinomio, mové el punto a y reducí h. El laboratorio deriva sus coeficientes, evalúa P′(a) y compara el resultado con la pendiente de una secante.

La curva amarilla representa P, la recta coral es una secante entre a y a+h, y la recta violeta es la tangente de pendiente P′(a).

Preguntas para explorar

1. Compará los grados del polinomio y su derivada en cada ejemplo.
2. Elegí el polinomio lineal. ¿Cambian las pendientes al mover a?
3. Elegí la constante. ¿Qué ocurre con la secante, la tangente y el error?
4. En un polinomio no lineal, reducí h. ¿Cómo evoluciona el error?

12 · Transformar coeficientes

Derivar polinomios con JavaScript

Con coeficientes en orden ascendente, la posición del arreglo contiene toda la información necesaria:

function derivarPolinomio(coeficientes) {
  if (!Array.isArray(coeficientes) || coeficientes.length === 0) {
    throw new TypeError("Se espera un arreglo no vacío");
  }
  if (!coeficientes.every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Todos los coeficientes deben ser finitos");
  }

  if (coeficientes.length === 1) return [0];

  return coeficientes
    .slice(1)
    .map((coeficiente, indice) => coeficiente * (indice + 1));
}

// P(x) = 4x⁵ − 3x³ + 2x − 7
const p = [-7, 2, 0, -3, 0, 4];
const dp = derivarPolinomio(p);

console.log(dp); // [2, 0, -9, 0, 20]
// P′(x) = 2 − 9x² + 20x⁴

Después de derivar pueden quedar ceros al final solo si la representación original incluía coeficientes principales nulos, algo que normalmente se evita al normalizar el polinomio.

Evaluar con la misma representación

function evaluarPolinomio(coeficientes, x) {
  let valor = 0;
  let potencia = 1;

  for (const coeficiente of coeficientes) {
    valor += coeficiente * potencia;
    potencia *= x;
  }

  return valor;
}

console.log(evaluarPolinomio(dp, 2)); // 286

Esta versión es clara y refleja la suma matemática. Para grados grandes, podemos evaluar con menos multiplicaciones mediante el método de Horner.

13 · Evaluación eficiente

Calcular P(x) y P′(x) en una sola pasada

Si los coeficientes se almacenan en orden descendente [aₙ, …, a₀], el método de Horner reescribe el polinomio como multiplicaciones anidadas:

Una variante permite evaluar simultáneamente el polinomio y su derivada:

function evaluarConDerivada(coeficientesDesc, x) {
  if (!coeficientesDesc.length) {
    throw new TypeError("Faltan coeficientes");
  }

  let valor = coeficientesDesc[0];
  let derivada = 0;

  for (let i = 1; i < coeficientesDesc.length; i++) {
    derivada = derivada * x + valor;
    valor = valor * x + coeficientesDesc[i];
  }

  return { valor, derivada };
}

// 2x³ − 3x + 5, en orden descendente.
const resultado = evaluarConDerivada([2, 0, -3, 5], 2);
console.log(resultado); // { valor: 15, derivada: 21 }

El algoritmo realiza una cantidad de trabajo proporcional al número de coeficientes y evita calcular explícitamente cada potencia. Es especialmente útil cuando solo necesitamos los valores P(a) y P′(a), no la expresión simbólica de la derivada.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: derivación término a término

Derivá P(x) = 6x⁷ − 4x⁵ + 3x² − 9.

Ejercicio 2: potencias ausentes

Calculá la derivada de Q(t) = −2t⁹ + 5t − 1.

Ejercicio 3: derivar y evaluar

Sea R(x) = x⁴ − 2x³ + x. Hallá R′(2).

Ejercicio 4: reconstruir información

Buscá todos los polinomios cuya derivada sea 6x² − 4x + 3.

Ejercicio 5: corregir un resultado

Se propuso (5x⁴ − 2x² + 7x − 3)′ = 20x³ − 4x + 7x. Identificá y corregí el error.

Ejercicio 6: completar el algoritmo

Completá la transformación para coeficientes ascendentes.

function derivar(coeficientes) {
  if (coeficientes.length === 1) return [0];
  return coeficientes.slice(1).map((coeficiente, indice) => {
    return null; // completar
  });
}

function derivar(coeficientes) {
  if (coeficientes.length === 1) return [0];
  return coeficientes.slice(1).map((coeficiente, indice) => {
    const exponenteOriginal = indice + 1;
    return coeficiente * exponenteOriginal;
  });
}

console.log(derivar([3, -2, 0, 4])); // [-2, 0, 12]

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aprenderemos a derivar expresiones en las que dos funciones se multiplican mediante la regla del producto.