Regla del producto

01 · Una operación no lineal

El producto cambia por dos caminos

La derivada respeta sumas y múltiplos constantes, pero multiplicar dos funciones es diferente. Si F(x) = f(x)g(x), cuando cambia x pueden cambiar simultáneamente f(x) y g(x).

La regla correcta conserva un factor mientras deriva el otro, y después intercambia sus papeles:

02 · Descartar una regla falsa

Multiplicar derivadas produce contradicciones

Tomemos f(x) = x y g(x) = x. Su producto es x², cuya derivada ya conocemos:

Si multiplicáramos las derivadas, obtendríamos:

Los resultados 2x y 1 no coinciden. La propuesta falsa ni siquiera conserva la dependencia con x.

03 · Desde la definición

Agregar cero para separar los cambios

Sea F(x) = f(x)g(x). Su cociente incremental es:

Queremos aislar un incremento de f y otro de g. Sumamos y restamos la misma cantidad, f(x)g(x+h), sin alterar el numerador:

Agrupamos y factorizamos:

Al dividir por h y tomar el límite:

Como la derivabilidad implica continuidad, g(x+h) → g(x). Los cocientes restantes tienden a f′(x) y g′(x). Así obtenemos:

El teorema afirma que si ambos factores son derivables en un punto, su producto también lo es allí. La recíproca no está garantizada: |x|·|x| = x² es derivable en cero aunque cada factor |x| no lo sea. La cancelación del comportamiento irregular puede hacer que el producto final sea más regular que las piezas elegidas.

04 · Modelo de área

Dos franjas de cambio y un término diminuto

Imaginemos un rectángulo cuyos lados miden f(x) y g(x). Su área es A(x)=f(x)g(x). Ante un pequeño cambio, los lados aumentan aproximadamente Δf y Δg.

El cambio exacto del área es:

Los dos primeros términos son franjas: una producida por el cambio de f y otra por el cambio de g. El último es el pequeño rectángulo de la esquina. Al dividir por Δx y pasar al límite, ese término mixto no aporta a la tasa instantánea.

Esta interpretación explica por qué aparecen dos sumandos y por qué cada uno combina una derivada con el valor no derivado del otro factor.

05 · Primera aplicación

Producto de dos potencias

Sea F(x) = x²·x³. Aplicando la regla:

Simplificamos ambos aportes:

También podíamos simplificar antes: x²·x³ = x⁵, y entonces (x⁵)′ = 5x⁴. La coincidencia es una verificación independiente de la regla.

06 · Factores polinómicos

Conservar la estructura hasta el final

Consideremos:

Nombramos los factores para que el procedimiento sea visible:

Aplicamos (uv)′ = u′v + uv′:

Esta forma factorizada ya es correcta. Si expandimos para comparar términos:

Expandir el producto original primero también funciona: F(x)=x⁵−x³−2x. Su derivada confirma el mismo resultado.

07 · Compatibilidad con reglas anteriores

El múltiplo constante es un caso particular

Si uno de los factores es una constante c, su derivada es cero:

Por lo tanto recuperamos la regla conocida:

Esto muestra coherencia entre las reglas. La regla del producto es más general, pero no conviene usarla cuando el factor constante puede salir directamente: la regla específica es más breve.

08 · Extensión

Productos de tres o más funciones

Para F(x)=f(x)g(x)h(x), podemos considerar fg como un primer bloque y aplicar la regla dos veces:

Cada sumando deriva exactamente un factor y conserva todos los demás. Para cuatro factores aparecerán cuatro sumandos, y así sucesivamente.

Ejemplo:

Como comprobación, el producto original es x⁶ y su derivada es 6x⁵.

09 · Trabajar sin fórmulas explícitas

Valores y derivadas en un punto son suficientes

Para calcular (fg)′(a) no necesitamos conocer las fórmulas completas de f y g. Alcanzan cuatro datos:

Si f(2)=3, f′(2)=−1, g(2)=5 y g′(2)=4, entonces:

Este formato aparece en tablas, sensores y interfaces de programación que entregan simultáneamente un valor y su tasa de cambio.

10 · Método de trabajo

Identificar, derivar, sustituir y simplificar

1. Comprobá si realmente hay un producto entre dos funciones variables.
2. Antes de desarrollar, revisá si el producto puede simplificarse de forma inmediata.
3. Asigná nombres u y v a los factores completos.
4. Calculá u′ y v′ por separado.
5. Escribí la plantilla u′v + uv′ antes de sustituir.
6. Simplificá solo después de comprobar que ambos aportes están presentes.

La plantilla funciona como una pequeña especificación: reduce omisiones y hace que el procedimiento pueda revisarse paso a paso.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: observar los dos aportes

Elegí un producto y mové el punto a. El laboratorio calcula por separado u′(a)v(a) y u(a)v′(a), los suma y compara el resultado con una pendiente secante.

La curva amarilla representa el producto, la recta coral es una secante entre a y a+h, y la recta violeta es la tangente calculada con la regla del producto.

Preguntas para explorar

1. Buscá un punto donde uno de los aportes sea cero. ¿El otro alcanza para determinar la pendiente?
2. ¿Pueden los dos aportes tener signos opuestos y cancelarse?
3. Elegí el producto con factor constante. ¿Cuál de los aportes desaparece?
4. Reducí h. ¿Cómo evoluciona la secante respecto de la suma exacta?

12 · Valores y derivadas

Programar la regla mediante pares

Podemos representar una función derivable mediante dos operaciones: una evalúa su valor y otra su derivada.

function funcionDerivable(valor, derivada) {
  return { valor, derivada };
}

function producto(f, g) {
  return funcionDerivable(
    x => f.valor(x) * g.valor(x),
    x => f.derivada(x) * g.valor(x) +
         f.valor(x) * g.derivada(x)
  );
}

const cuadratica = funcionDerivable(
  x => x ** 2 + 1,
  x => 2 * x
);

const lineal = funcionDerivable(
  x => x + 2,
  () => 1
);

const f = producto(cuadratica, lineal);
console.log(f.valor(1));    // 6
console.log(f.derivada(1)); // 8

El objeto conserva juntas dos piezas relacionadas. El combinador producto construye el nuevo valor y la nueva derivada respetando la regla matemática.

Producto de varios factores

function productoDe(...funciones) {
  if (funciones.length === 0) {
    return funcionDerivable(() => 1, () => 0);
  }
  return funciones.reduce(producto);
}

const identidad = funcionDerivable(x => x, () => 1);
const xSexta = productoDe(identidad, identidad, identidad,
                         identidad, identidad, identidad);

console.log(xSexta.valor(2));     // 64
console.log(xSexta.derivada(2)); // 192

La reducción aplica la regla de dos factores repetidamente. El caso vacío representa el producto neutro 1, cuya derivada es 0.

13 · Regla estructural

Derivar un nodo de producto

En un árbol de expresión, la regla produce una suma de dos productos:

const suma = (izquierda, derecha) =>
  ({ tipo: "suma", izquierda, derecha });

const productoNodo = (izquierda, derecha) =>
  ({ tipo: "producto", izquierda, derecha });

function derivarProducto(nodo, derivar) {
  const u = nodo.izquierda;
  const v = nodo.derecha;

  return suma(
    productoNodo(derivar(u), v),
    productoNodo(u, derivar(v))
  );
}

Es importante reutilizar los nodos originales u y v sin modificarlos. Si el árbol puede mutar, conviene tratar los nodos como inmutables o clonarlos de forma controlada.

Después de derivar, una etapa separada puede simplificar productos por cero, productos por uno y términos semejantes. Por ejemplo, la derivada simbólica de 7·x³ nace como 0·x³ + 7·3x² y luego se reduce a 21x².

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: dos factores sencillos

Derivá F(x) = (x² + 3)(x − 4).

Ejercicio 2: verificar por expansión

Calculá la derivada de (2x+1)(x²−x) mediante la regla y verificá expandiendo primero.

Ejercicio 3: datos en un punto

Si f(1)=−2, f′(1)=3, g(1)=4 y g′(1)=5, calculá (fg)′(1).

Ejercicio 4: tres factores

Derivá H(x)=x(x+1)(x−1) sin expandir al comienzo.

Ejercicio 5: encontrar el error

Se afirmó que [(x²+1)(x³−2)]′ = 2x(3x²). Explicá el problema.

Ejercicio 6: completar el combinador

Completá la derivada del producto en este objeto funcional.

function multiplicar(f, g) {
  return {
    valor: x => f.valor(x) * g.valor(x),
    derivada: x => null // completar
  };
}

function multiplicar(f, g) {
  return {
    valor: x => f.valor(x) * g.valor(x),
    derivada: x =>
      f.derivada(x) * g.valor(x) +
      f.valor(x) * g.derivada(x)
  };
}

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aprenderemos a derivar divisiones entre funciones mediante la regla del cociente.