Regla del cociente

01 · Dividir funciones

El denominador cambia y además restringe el dominio

Una función cociente tiene la forma:

Al variar x, pueden cambiar tanto el numerador como el denominador. El efecto no es simétrico: aumentar el numerador tiende a aumentar el cociente, mientras que aumentar un denominador positivo tiende a reducirlo.

La regla combina esas dos fuentes de cambio:

02 · Fórmula y estructura

Derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo

Si u y v son derivables y v(x) ≠ 0, entonces:

Una manera de recordar la estructura es leerla en este orden:

El orden del numerador importa. A diferencia de una suma, cambiar u′v − uv′ por uv′ − u′v cambia el signo completo del resultado.

03 · Desde el cociente incremental

Un denominador común revela los dos incrementos

Sea F(x)=f(x)/g(x). Partimos de:

Sustituimos la definición de F y formamos un denominador común:

En el numerador sumamos y restamos f(x)g(x):

Después de separar los cocientes incrementales:

Cuando h → 0, las derivadas producen f′(x) y g′(x). Además, la derivabilidad de g implica continuidad, por lo que g(x+h) → g(x). Obtenemos:

La demostración también explica la restricción: necesitamos que g(x) no sea cero y, por continuidad, que g(x+h) permanezca distinto de cero para incrementos suficientemente pequeños.

04 · El orden no es decorativo

Por qué aparece una resta

Supongamos por un momento que el numerador es la constante positiva 1 y que el denominador crece. Intuitivamente, el cociente 1/g(x) debe disminuir. La regla confirma ese signo:

Si g′(x) > 0, entonces [1/g]′ < 0 siempre que g(x) ≠ 0. Invertir los términos del numerador produciría una conclusión contraria a este comportamiento básico.

05 · Aplicación paso a paso

Un cociente de polinomios

Consideremos:

Nombramos numerador y denominador:

Sustituimos sin simplificar prematuramente:

Al reducir el numerador:

La restricción x ≠ 1 se conserva. Elevar el denominador al cuadrado no recupera el punto excluido.

06 · Caso particular

Derivada del recíproco de una función

Tomando u(x)=1 en la regla general:

Por ejemplo, si F(x)=1/(x²+1), entonces:

Como x²+1 nunca vale cero en los reales, tanto F como F′ están definidas para todo número real.

En cambio, para G(x)=1/x:

La derivada es negativa a ambos lados del origen, pero ni la función ni su derivada están definidas en cero.

07 · Cancelar no borra la historia

Simplificar conservando los puntos excluidos

La función:

puede simplificarse porque x²−1=(x−1)(x+1):

En su dominio, la derivada es R′(x)=1. Sin embargo, la expresión original no define R(1), así que tampoco define una derivada allí.

08 · Sin fórmulas completas

Cuatro datos y una condición

Para calcular la derivada de f/g en a necesitamos:

Si f(2)=5, f′(2)=3, g(2)=−2 y g′(2)=4:

El signo de g(2) influye en el numerador, mientras que el denominador final es positivo por estar al cuadrado.

09 · Simplificar o aplicar la regla

Elegir el camino más claro

El mejor método reduce trabajo sin perder información del dominio. Si simplificás, anotá primero las restricciones de la expresión original.

10 · Estrategia de cálculo

Un procedimiento que protege el signo y el dominio

1. Determiná dónde el denominador original vale cero y excluí esos puntos.
2. Revisá si una factorización o simplificación reduce el trabajo.
3. Identificá el numerador completo como u y el denominador completo como v.
4. Calculá u′ y v′ por separado.
5. Escribí primero la plantilla (u′v − uv′)/v².
6. Sustituí usando paréntesis alrededor de cada factor compuesto.
7. Simplificá y volvé a declarar las restricciones del dominio.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: numerador, denominador y dominio

Elegí una función racional, mové el punto a y reducí h. El laboratorio muestra los dos productos del numerador, la derivada exacta y una secante. El ejemplo con hueco también permite elegir el punto excluido.

La curva amarilla representa el cociente, la recta coral es una secante y la recta violeta es la tangente. Un círculo abierto marca la discontinuidad removible del ejemplo simplificable.

Preguntas para explorar

1. En el recíproco, compará puntos opuestos. ¿Cómo cambia el signo de la derivada?
2. Reducí h. ¿Cómo se acerca la secante al resultado exacto?
3. Elegí el cociente con hueco y llevá a a 1. ¿Por qué no se informa una derivada?
4. Fuera del hueco, ¿qué pendiente presenta siempre la función simplificada?

12 · Contratos de dominio

Programar un cociente derivable

Podemos extender el modelo de valor y derivada usado en la regla del producto. Esta vez debemos validar el denominador en cada evaluación:

function funcionDerivable(valor, derivada) {
  return { valor, derivada };
}

function exigirDenominador(valor, x) {
  if (valor === 0) {
    throw new RangeError(`Denominador cero en x = ${x}`);
  }
}

function cociente(f, g) {
  return funcionDerivable(
    x => {
      const gx = g.valor(x);
      exigirDenominador(gx, x);
      return f.valor(x) / gx;
    },
    x => {
      const fx = f.valor(x);
      const gx = g.valor(x);
      exigirDenominador(gx, x);
      return (f.derivada(x) * gx - fx * g.derivada(x)) /
             gx ** 2;
    }
  );
}

El chequeo usa cero exacto porque representa una condición matemática. En aplicaciones con datos medidos puede ser necesario definir, por separado, una política para denominadores muy pequeños y problemas de estabilidad numérica.

Aplicar el combinador

const numerador = funcionDerivable(
  x => x ** 2 + 1,
  x => 2 * x
);

const denominador = funcionDerivable(
  x => x + 2,
  () => 1
);

const f = cociente(numerador, denominador);
console.log(f.valor(0));     // 0.5
console.log(f.derivada(0)); // -0.25

13 · Árbol de expresión

Construir simbólicamente la regla

Para un nodo de división, la derivada crea una división cuyo numerador es una resta de productos:

const producto = (izquierda, derecha) =>
  ({ tipo: "producto", izquierda, derecha });

const resta = (izquierda, derecha) =>
  ({ tipo: "resta", izquierda, derecha });

const potencia = (base, exponente) =>
  ({ tipo: "potencia", base, exponente });

const division = (numerador, denominador) =>
  ({ tipo: "division", numerador, denominador });

function derivarDivision(nodo, derivar) {
  const u = nodo.numerador;
  const v = nodo.denominador;

  return division(
    resta(
      producto(derivar(u), v),
      producto(u, derivar(v))
    ),
    potencia(v, 2)
  );
}

El árbol conserva el orden de la resta de manera explícita. Además de la expresión derivada, un sistema simbólico serio debe mantener las restricciones v ≠ 0 como metadatos del dominio.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: cociente básico

Derivá F(x)=(x²+3)/(x+1) e indicá su dominio.

Ejercicio 2: recíproco

Calculá la derivada de G(t)=1/(t³+2).

Ejercicio 3: datos en un punto

Si f(0)=2, f′(0)=−1, g(0)=4 y g′(0)=3, hallá (f/g)′(0).

Ejercicio 4: simplificar y conservar dominio

Derivá H(x)=(x³−x)/x.

Ejercicio 5: detectar dos errores

Se propuso [(x+1)/x²]′ = [1·x² − (x+1)·2x]/(2x)². ¿Qué está bien y qué debe corregirse?

Ejercicio 6: completar la implementación

Completá el cálculo numérico de la regla.

function derivadaCociente(f, df, g, dg, x) {
  const gx = g(x);
  if (gx === 0) return null;
  return null; // completar
}

function derivadaCociente(f, df, g, dg, x) {
  const fx = f(x);
  const gx = g(x);
  if (gx === 0) return null;
  return (df(x) * gx - fx * dg(x)) / gx ** 2;
}

console.log(derivadaCociente(
  x => x ** 2 + 1, x => 2 * x,
  x => x + 2, () => 1,
  0
)); // -0.25

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aprenderemos a derivar funciones compuestas mediante la regla de la cadena.