Derivadas de funciones logarítmicas

01 · Invertir una exponencial

El logaritmo responde qué exponente produce un valor

El logaritmo natural ln(x) es la función inversa de eˣ:

Como eʸ solo produce valores positivos, el dominio real de ln(x) es:

La función atraviesa el punto (1,0), crece en todo su dominio y se aproxima a −∞ cuando x→0⁺. Su derivada es:

02 · Resultado fundamental

La derivada de ln(x)

Desde la definición:

Para x>0, usamos la propiedad del cociente:

Tomamos u=h/x, de modo que h=xu y u→0:

El límite fundamental lim ln(1+u)/u = 1 se relaciona directamente con el límite que caracteriza a e. Por lo tanto:

La pendiente es muy grande cerca de cero y se aproxima a cero cuando x crece, aunque nunca deja de ser positiva.

03 · Cambio de base

Logaritmos de base a

Para a>0 y a≠1, el cambio de base permite escribir:

Como ln(a) es constante respecto de x:

Si 0<a<1, entonces ln(a)<0 y la derivada es negativa. Esto coincide con el hecho de que el logaritmo de una base menor que uno es decreciente.

04 · Argumento compuesto

La derivada interior queda en el numerador

Para F(x)=ln(g(x)), la exterior aporta 1/u y la cadena aporta g′(x):

Ejemplo:

Como x²+1>0 para todo real, tanto la función como su derivada están definidas en ℝ.

En cambio, para G(x)=ln(x−3):

La expresión 1/(x−3) también existe para x<3, pero allí no es la derivada real de ln(x−3), porque la función original no está definida.

05 · Extender a argumentos no nulos

La derivada de ln|g(x)|

La expresión ln|x| está definida para x≠0. En cada intervalo de su dominio:

Para x>0, es simplemente ln x. Para x<0, |x|=−x y la cadena da:

Más generalmente:

06 · Aplicaciones de la cadena

Argumentos polinómicos y racionales

En el último caso podemos usar propiedades logarítmicas por intervalos:

La derivada simplificada no reemplaza el dominio: los puntos −1 y 1 siguen excluidos.

07 · Simplificar antes de derivar

Productos se vuelven sumas y cocientes se vuelven restas

Cuando las expresiones están dentro de su dominio, las identidades logarítmicas permiten:

Por ejemplo, si u(x)>0 y v(x)>0:

Aplicar directamente la cadena al producto interior también produce:

Estas propiedades anticipan la derivación logarítmica del tema 27, donde los logaritmos ayudarán a transformar productos y potencias difíciles.

08 · Base explícita

“log” puede ser ambiguo

Según el área o el lenguaje de programación, log(x) puede significar logaritmo natural, decimal o incluso base dos. Para evitar errores:

En documentación, nombres como naturalLog, log10 o un parámetro base son preferibles a una función genérica cuyo significado dependa del contexto.

09 · Reglas combinadas

Productos y cocientes fuera del logaritmo

En F(x)=x²ln(x), con x>0, la operación principal es un producto:

Para G(x)=ln(x)/x, también con x>0, usamos cociente:

Y para H(x)=ln(eˣ²⁺¹), podemos simplificar primero porque eˣ²⁺¹>0:

La cadena directa confirma el resultado: [eˣ²⁺¹(2x)]/eˣ²⁺¹=2x.

10 · Estrategia de cálculo

Primero dominio, después derivada

1. Determiná la base y verificá que sea positiva y distinta de uno.
2. Resolvé la desigualdad que hace positivo al argumento.
3. Identificá la función interior completa g(x).
4. Para ln(g), escribí g′/g.
5. Para logₐ(g), dividí además por ln(a).
6. Aplicá producto o cociente si el logaritmo participa en una expresión mayor.
7. Conservá el dominio original aunque la derivada se simplifique.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: argumentos, bases y dominio

Elegí una función logarítmica, mové el punto a y reducí h. El laboratorio muestra cuándo el argumento es válido y compara la derivada exacta con una secante.

La curva amarilla representa la función logarítmica, la recta coral es una secante y la violeta es la tangente cuando el punto pertenece al dominio.

Preguntas para explorar

1. En ln(x), acercate a cero desde la derecha. ¿Qué ocurre con la pendiente?
2. Compará ln(x) y log₁₀(x) en el mismo punto.
3. En ln(x²+1), ¿por qué pueden usarse todas las entradas reales?
4. Elegí ln|x|. ¿Qué relación observás entre las ramas positiva y negativa?

12 · Implementación numérica

Construir logaritmos con dominio explícito

function logaritmo(base) {
  if (!(base > 0) || base === 1 || !Number.isFinite(base)) {
    throw new RangeError("La base debe ser positiva, finita y distinta de 1");
  }

  const divisor = Math.log(base);
  return {
    valor(x) {
      if (!(x > 0)) throw new RangeError("El argumento debe ser positivo");
      return Math.log(x) / divisor;
    },
    derivada(x) {
      if (!(x > 0)) throw new RangeError("El argumento debe ser positivo");
      return 1 / (x * divisor);
    }
  };
}

const log2 = logaritmo(2);
console.log(log2.valor(8));     // 3
console.log(log2.derivada(8)); // 1 / (8 ln 2)

Argumento compuesto

function logaritmoCompuesto(base, g, dg) {
  if (!(base > 0) || base === 1 || !Number.isFinite(base)) {
    throw new RangeError("La base debe ser positiva, finita y distinta de 1");
  }

  const factorBase = Math.log(base);

  return {
    valor(x) {
      const argumento = g(x);
      if (!(argumento > 0)) return null;
      return Math.log(argumento) / factorBase;
    },
    derivada(x) {
      const argumento = g(x);
      if (!(argumento > 0)) return null;
      return dg(x) / (argumento * factorBase);
    }
  };
}

const ejemplo = logaritmoCompuesto(
  Math.E,
  x => x ** 2 + 1,
  x => 2 * x
);

console.log(ejemplo.derivada(2)); // 4/5

13 · Cerca de uno

Usar log1p para incrementos pequeños

Al calcular ln(1+u) con u muy pequeño, la suma 1+u puede perder parte de la precisión. Math.log1p(u) evalúa esa expresión de forma estable.

function cocienteFundamental(u) {
  if (u === 0) return 1;
  if (u <= -1) throw new RangeError("Se requiere 1 + u positivo");
  return Math.log1p(u) / u;
}

for (const u of [1e-1, 1e-4, 1e-8, 1e-12]) {
  console.log(u, cocienteFundamental(u));
}
// Los valores se aproximan a 1.

Regla simbólica

function derivarLogaritmo(nodo, derivar) {
  const factorBase = nodo.base === Math.E
    ? 1
    : 1 / Math.log(nodo.base);

  return {
    tipo: "producto",
    factores: [
      { tipo: "constante", valor: factorBase },
      derivar(nodo.argumento),
      {
        tipo: "potencia",
        base: nodo.argumento,
        exponente: -1
      }
    ],
    condicion: { tipo: "mayor_que_cero", expresion: nodo.argumento }
  };
}

La condición de dominio forma parte del resultado simbólico. Simplificar la expresión derivada no debe eliminarla.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: logaritmo natural compuesto

Derivá f(x)=ln(2x+5) e indicá su dominio.

Ejercicio 2: otra base

Calculá la derivada de g(x)=log₃(x²+4).

Ejercicio 3: valor absoluto

Derivá h(x)=ln|x−2|.

Ejercicio 4: producto con logaritmo

Derivá F(x)=x ln(x).

Ejercicio 5: simplificación exponencial

Calculá la derivada de Q(x)=ln(e³ˣ⁻¹).

Ejercicio 6: completar una regla

Completá la derivada del logaritmo compuesto.

function derivadaLog(base, g, dg, x) {
  const argumento = g(x);
  if (!(argumento > 0)) return null;
  return null; // completar
}

function derivadaLog(base, g, dg, x) {
  if (!(base > 0) || base === 1) return null;
  const argumento = g(x);
  if (!(argumento > 0)) return null;
  return dg(x) / (argumento * Math.log(base));
}

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las derivadas fundamentales de seno y coseno.