Derivadas de seno y coseno

01 · Oscilaciones y cambio

Dos funciones periódicas conectadas por la derivada

El seno y el coseno describen rotaciones, ondas, vibraciones, señales y movimientos periódicos. Sus reglas fundamentales son:

Estas fórmulas revelan una relación geométrica: la pendiente del seno coincide con la altura del coseno, mientras que la pendiente del coseno es el opuesto del seno.

02 · La unidad importa

Las reglas simples requieren radianes

En cálculo, el ángulo x se mide en radianes. Solo con esta unidad se cumple el límite fundamental:

Si una entrada g está en grados, primero se convierte: g° = πg/180 radianes. Por la regla de la cadena:

03 · Desde la definición

Por qué la derivada del seno es el coseno

Partimos del cociente incremental y usamos sin(x+h)=sin x cos h+cos x sin h:

Los dos límites trigonométricos fundamentales son:

Por lo tanto, el primer término desaparece y el segundo queda igual a cos x:

El primer límite también puede justificarse geométricamente con el círculo unitario; el segundo se deduce al racionalizar con cos h+1.

04 · El origen del signo

Por qué la derivada del coseno es −sin(x)

Aplicamos cos(x+h)=cos x cos h−sin x sin h:

Al sustituir los límites anteriores obtenemos:

Por ejemplo, en x=π/2 el coseno cruza el eje descendiendo: su pendiente es −sin(π/2)=−1. En x=0 tiene un máximo y su pendiente es cero.

05 · Leer la pendiente

Máximos, mínimos y cruces

Una derivada nula señala una tangente horizontal. En seno y coseno esos puntos alternan máximos y mínimos porque el signo de la derivada cambia a cada lado.

06 · Argumentos compuestos

La función interior multiplica la regla trigonométrica

Si el ángulo es una función u=g(x), aplicamos la regla de la cadena:

sin(√x) existe en x=0, pero la fórmula obtenida no. De hecho, su cociente incremental allí crece sin límite: no posee derivada finita en ese extremo.

07 · Varias reglas a la vez

Sumas, productos y cocientes

Las reglas trigonométricas se combinan con las algebraicas ya estudiadas:

En una expresión extensa conviene identificar primero la operación exterior. Para sin²x=(sin x)², la exterior es el cuadrado:

08 · Modelar señales

Amplitud, frecuencia angular y fase

Una onda sinusoidal puede escribirse como f(t)=A sin(ωt+φ)+C. Su derivada es:

A escala la amplitud, ω controla la rapidez de la oscilación, φ desplaza la fase y C desaparece al derivar. El período es T=2π/|ω| si ω≠0.

Si una posición es s(t)=4sin(3t−1), entonces:

La ecuación s″=−ω²s caracteriza al movimiento armónico simple.

09 · Ciclo de orden cuatro

Las derivadas vuelven al punto de partida

Después de cuatro derivaciones se recupera la función original. Por eso, para un entero no negativo n:

En código basta usar n % 4 para determinar cuál de las cuatro formas corresponde.

10 · Método de trabajo

Cómo derivar sin perder factores ni signos

1. Confirmá la unidad. Interpretá los ángulos en radianes o convertí los grados.
2. Identificá la estructura. Decidí si domina una suma, producto, cociente o composición.
3. Derivá la función exterior. Seno pasa a coseno; coseno pasa a menos seno.
4. Multiplicá por la derivada interior. Conservá intacto el argumento dentro de seno o coseno.
5. Simplificá y verificá. Revisá signos, dominio y compará numéricamente en un punto.

11 · Laboratorio interactivo

Compará la pendiente exacta con una aproximación

Elegí una función y mové el punto. La recta naranja es la tangente y la aproximación usa una diferencia central.

12 · Implementación

Derivadas trigonométricas en JavaScript

const funciones = {
  seno: {
    valor: x => Math.sin(x),
    derivada: x => Math.cos(x)
  },
  coseno: {
    valor: x => Math.cos(x),
    derivada: x => -Math.sin(x)
  }
};

function sinCompuesto(g, dg) {
  return {
    valor: x => Math.sin(g(x)),
    derivada: x => Math.cos(g(x)) * dg(x)
  };
}

const f = sinCompuesto(x => x * x, x => 2 * x);
console.log(f.derivada(1)); // 2 cos(1)

Comprobar con diferencias centrales

function derivadaCentral(f, x, h = 1e-5) {
  if (!(h > 0) || !Number.isFinite(h)) {
    throw new RangeError("h debe ser positivo y finito");
  }
  return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
}

const x = Math.PI / 3;
console.log(derivadaCentral(Math.sin, x));
console.log(Math.cos(x)); // ambos valores se aproximan a 0.5

La diferencia central suele tener error de truncamiento proporcional a h². Un h extremadamente pequeño tampoco es ideal: la resta de números casi iguales amplifica el redondeo.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: seno compuesto

Derivá f(x)=sin(4x−3).

Ejercicio 2: coseno compuesto

Derivá g(x)=3cos(x²+1).

Ejercicio 3: regla del producto

Derivá h(x)=x cos x.

Ejercicio 4: regla del cociente

Derivá p(x)=sin x/(1+x²).

Ejercicio 5: recta tangente

Hallá la recta tangente a y=cos x en x=π/3.

Ejercicio 6: potencia trigonométrica

Derivá q(x)=cos³x.

Ejercicio 7: señal periódica

Una señal es s(t)=5sin(2t+π/4). Hallá su velocidad y su período.

Ejercicio 8: derivadas sucesivas

¿Cuál es la derivada número 2026 de sin x?

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estas reglas permitirán obtener las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante.