Derivadas de las demás funciones trigonométricas

01 · Cuatro funciones relacionadas

Todo parte de seno y coseno

Las funciones de este tema se expresan mediante cocientes o recíprocos de seno y coseno:

Por eso sus derivadas se obtienen con las reglas del cociente, la potencia y las derivadas estudiadas en el tema anterior.

02 · Derivada de la tangente

El cociente conduce a sec²(x)

Aplicamos la regla del cociente a tan x=sin x/cos x:

Así:

La identidad sec²x=1+tan²x muestra que la derivada es siempre positiva donde existe. Por eso cada rama de la tangente es estrictamente creciente.

03 · Derivada de la cotangente

El signo negativo indica ramas decrecientes

Como cot x=cos x/sin x:

Por tanto:

La derivada es negativa en todo punto de su dominio: cada rama de la cotangente es estrictamente decreciente.

04 · Derivada de la secante

Derivar el recíproco del coseno

Escribimos sec x=(cos x)−1 y aplicamos potencia más cadena:

A diferencia de sec²x, el producto sec x tan x puede ser positivo o negativo. La secante no es creciente en todas sus ramas.

05 · Derivada de la cosecante

El recíproco del seno conserva un signo negativo

Ahora csc x=(sin x)−1:

El signo negativo forma parte de la regla. Resulta útil memorizar juntas las parejas sec·tan y −csc·cot.

06 · Puntos excluidos

La derivada nunca amplía el dominio original

En todos los casos k∈ℤ. Los puntos excluidos generan asíntotas verticales: la función crece sin cota en valor absoluto al aproximarse por alguno de sus lados.

07 · Argumentos compuestos

Las cuatro reglas también necesitan la derivada interior

08 · Combinar reglas

Productos, cocientes y potencias trigonométricas

Para F(x)=ln|sec x|, la regla logarítmica simplifica el resultado:

La igualdad vale en cada intervalo donde sec x existe. Esta clase de simplificación no elimina las restricciones del dominio.

09 · Formas equivalentes

Elegir una representación útil

Las identidades pitagóricas permiten reescribir algunas derivadas:

Así, si y=tan x, entonces y′=1+y². Si y=cot x, y′=−(1+y²). Estas expresiones son útiles en ecuaciones diferenciales y cuando el resultado debe quedar en términos de la función original.

También podemos comprobar una identidad derivando ambos lados. Por ejemplo:

10 · Estrategia

Un procedimiento confiable

1. Determiná el dominio. Localizá dónde seno o coseno aparecen en un denominador.
2. Reconocé la función exterior. Identificá tangente, cotangente, secante o cosecante.
3. Escribí su regla completa. Prestá especial atención a los signos negativos.
4. Aplicá la cadena. Multiplicá por la derivada del argumento sin modificarlo.
5. Combiná y simplificá. Usá producto, cociente o potencia cuando corresponda.
6. Verificá. Compará con una diferencia central lejos de las discontinuidades.

11 · Laboratorio interactivo

Explorá ramas, pendientes y asíntotas

La gráfica corta cada curva al detectar una discontinuidad. Elegí una función y un punto para comparar la regla exacta con una aproximación numérica.

12 · Implementación

Funciones seguras en JavaScript

JavaScript incluye Math.tan, pero no ofrece cotangente, secante ni cosecante. Podemos construirlas y representar los puntos excluidos con NaN:

const EPSILON = 1e-12;

function reciprocal(value) {
  return Math.abs(value) < EPSILON ? NaN : 1 / value;
}

const trig = {
  tan: x => Math.abs(Math.cos(x)) < EPSILON ? NaN : Math.tan(x),
  cot: x => Math.cos(x) * reciprocal(Math.sin(x)),
  sec: x => reciprocal(Math.cos(x)),
  csc: x => reciprocal(Math.sin(x))
};

const derivatives = {
  tan: x => trig.sec(x) ** 2,
  cot: x => -(trig.csc(x) ** 2),
  sec: x => trig.sec(x) * trig.tan(x),
  csc: x => -trig.csc(x) * trig.cot(x)
};

Composición reutilizable

function tangenteCompuesta(g, dg) {
  return {
    valor: x => Math.tan(g(x)),
    derivada: x => {
      const coseno = Math.cos(g(x));
      return dg(x) / (coseno * coseno);
    }
  };
}

const f = tangenteCompuesta(x => 2 * x, () => 2);
console.log(f.derivada(0)); // 2

Cerca de una asíntota, valores finitos enormes no significan que la función esté definida en ella. Al graficar conviene detectar denominadores pequeños y separar las ramas.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: tangente compuesta

Derivá f(x)=tan(4x−1).

Ejercicio 2: cotangente compuesta

Derivá g(x)=cot(x³).

Ejercicio 3: secante

Derivá h(x)=2sec(5x).

Ejercicio 4: cosecante y raíz

Derivá p(x)=csc(√x).

Ejercicio 5: producto con tangente

Derivá q(x)=x²tan x.

Ejercicio 6: función recíproca

Derivá r(x)=1/sec x sin simplificar antes.

Ejercicio 7: pendiente puntual

Hallá la pendiente de y=tan x en x=π/4.

Ejercicio 8: tangentes horizontales

¿Dónde tiene tangente horizontal y=sec x?

15 · Síntesis

Ideas para recordar

El siguiente tema estudia las derivadas de las funciones trigonométricas inversas: arcoseno, arcocoseno, arcotangente y sus variantes.