01 · Relaciones, no siempre funciones
Una ecuación puede definir varias ramas
La circunferencia x²+y²=25 no representa una única función de x: al despejar aparecen y=±√(25−x²). La derivación implícita permite trabajar con ambas ramas sin despejarlas.
Dependencia
Cada aparición de y es una función de x.
Cadena
Al derivar una expresión con y aparece dy/dx.
Nivel
La curva reúne puntos donde F conserva el valor cero.
02 · La regla esencial
Derivar ambos lados respecto de x
En x²+y²=25, derivamos término a término. Como y=y(x), la cadena transforma y²:
En el punto (3,4), la pendiente es −3/4 y la recta tangente es:
03 · Patrones frecuentes
Cómo se derivan expresiones que contienen y
| Expresión | Derivada | Regla |
|---|---|---|
yⁿ | nyⁿ⁻¹y′ | Potencia y cadena |
sin y | cos y·y′ | Cadena |
eʸ | eʸy′ | Cadena |
ln y | y′/y | Cadena |
xy | y+xy′ | Producto |
x/y | (y−xy′)/y² | Cociente |
04 · Producto mixto
La curva x³+y³=6xy
Derivamos y agrupamos todos los términos con y′:
En (3,3), que satisface la ecuación, la pendiente es (6−9)/(9−6)=−1. Sustituir el punto debe hacerse después de obtener la fórmula.
05 · Funciones trascendentes
Cadena dentro de una relación
Para sin(xy)+eʸ=x aparecen una composición, un producto y una exponencial:
La técnica no cambia: derivar, reunir los términos con y′, factorizar y despejar.
06 · Derivadas parciales
La fórmula compacta mediante el gradiente
Si F(x,y(x))=0, la regla de la cadena multivariable da:
El gradiente ∇F=(Fₓ,Fᵧ) es perpendicular a la curva de nivel. Un vector tangente puede ser (Fᵧ,−Fₓ), cuya pendiente es precisamente −Fₓ/Fᵧ.
07 · Horizontales y verticales
Qué informa el denominador
Tangente horizontal
Fₓ=0 y Fᵧ≠0
La pendiente y′ vale cero.
Tangente vertical
Fᵧ=0 y Fₓ≠0
dy/dx no es finita; puede estudiarse dx/dy=−Fᵧ/Fₓ.
Si ambas derivadas parciales se anulan, el punto es singular y la fórmula no decide por sí sola: pueden cruzarse ramas, aparecer cúspides o existir un punto aislado.
08 · Segunda derivada
Volver a derivar la relación de y′
Para la circunferencia, y′=−x/y. Derivando con cociente:
Al sustituir y′=−x/y y usar x²+y²=25:
En (3,4), y″=−25/64, lo que indica concavidad hacia abajo en la rama superior.
09 · Tasas relacionadas
Cuando todas las variables dependen del tiempo
Si un círculo cambia de tamaño, A=πr². Derivando respecto del tiempo:
La derivación implícita conecta tasas instantáneas sin necesidad de despejar primero cada variable. Las unidades ayudan a verificar: área por tiempo debe resultar de longitud por longitud/tiempo.
10 · Método
Un algoritmo confiable
- Identificá dependencias. Considerá
y=y(x). - Derivá ambos lados. Usá cadena en cada término con
y. - Expandí con cuidado. Aplicá producto o cociente cuando mezclen
xey. - Agrupá los términos con y′. Pasalos a un mismo lado.
- Factorizá y despejá. Conservá las restricciones del denominador.
- Evaluá y verificá. Confirmá que el punto pertenece a la curva.
11 · Laboratorio interactivo
Recorré curvas sin despejar y
El parámetro solo selecciona un punto; la pendiente se calcula con −Fₓ/Fᵧ. La recta naranja es la tangente.
12 · Implementación
Una utilidad basada en derivadas parciales
function implicitSlope(Fx, Fy, x, y, epsilon = 1e-10) {
const numerator = Fx(x, y);
const denominator = Fy(x, y);
if (Math.abs(denominator) < epsilon) return null;
return -numerator / denominator;
}
// F(x,y) = x² + y² - 25
const slope = implicitSlope(
(x, y) => 2 * x,
(x, y) => 2 * y,
3, 4
);
console.log(slope); // -0.75En un sistema de álgebra simbólica, Fₓ y Fᵧ pueden generarse desde un árbol de expresión. En cálculo numérico también pueden aproximarse con diferencias centrales, evitando puntos donde el gradiente sea casi nulo.
13 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«y debe tratarse como una constante»
No: y=y(x), por lo que d(y²)/dx=2yy′.
«La derivada de xy es xy′»
Falta un término de la regla del producto: d(xy)/dx=y+xy′.
«Conviene sustituir el punto antes de derivar»
Primero se deriva simbólicamente y después se evalúa el punto.
«Siempre se puede dividir por Fᵧ»
Si Fᵧ=0, puede haber una tangente vertical o un punto singular.
«No hace falta comprobar el punto»
La pendiente solo tiene sentido si F(x₀,y₀)=0.
14 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: relación polinómica
Derivá implícitamente x²+xy+y²=7.
Ver solución razonada
2x+y+xy′+2yy′=0, luego y′=−(2x+y)/(x+2y).
Ejercicio 2: pendiente en una circunferencia
Hallá la pendiente de x²+y²=25 en (3,4).
Ver solución
y′=−x/y=−3/4.
Ejercicio 3: exponencial implícita
Derivá eˣʸ=x+y.
Ver solución razonada
eˣʸ(y+xy′)=1+y′; entonces y′=(1−yeˣʸ)/(xeˣʸ−1).
Ejercicio 4: seno implícito
Derivá sin y=x².
Ver solución
cos y·y′=2x, por lo tanto y′=2x/cos y.
Ejercicio 5: tangentes horizontales
Buscá las tangentes horizontales de x²+4y²=16.
Ver solución razonada
y′=−x/(4y). Son horizontales cuando x=0: los puntos (0,±2).
Ejercicio 6: tangentes verticales
Buscá las tangentes verticales de la misma elipse.
Ver solución
Ocurren cuando y=0: (±4,0).
Ejercicio 7: tasas relacionadas
Una esfera V=4πr³/3 crece a 6 cm³/s. Hallá dr/dt cuando r=2.
Ver solución razonada
6=4π(2²)dr/dt; así dr/dt=3/(8π) cm/s.
Ejercicio 8: segunda derivada
Calculá y″ para x²+y²=25 en (3,4).
Ver solución
y″=−25/y³=−25/64.
15 · Síntesis
Ideas para recordar
- Se considera
ycomo función dex. - Cada derivación de una expresión con
yaplica la regla de la cadena. - Para
F(x,y)=0,y′=−Fₓ/FᵧcuandoFᵧ≠0. - El gradiente es normal a la curva y permite reconocer tangentes especiales.
- El método se extiende a derivadas superiores y tasas relacionadas.
El próximo tema relaciona esta técnica con la derivada de una función inversa.