Derivadas de funciones inversas

01 · Deshacer una transformación

La inversa intercambia entradas y salidas

Si f(a)=b, entonces f⁻¹(b)=a. Componerlas recupera el valor inicial:

02 · Antes de derivar

La función debe ser uno a uno

Una inversa funcional existe si cada salida corresponde a una sola entrada. La prueba de la recta horizontal detecta gráficamente esta propiedad. Toda función estrictamente creciente o decreciente en un intervalo es inyectiva allí.

f(x)=x² no tiene inversa en todo ℝ, porque f(2)=f(−2). Al restringirla a x≥0, su inversa es √x; al restringirla a x≤0, es −√x.

03 · Fórmula fundamental

La derivada inversa es la pendiente recíproca

Si f es invertible cerca de a, derivable y f′(a)≠0, entonces para b=f(a):

La segunda forma recuerda que primero se busca la entrada original f⁻¹(x) y allí se evalúa f′.

04 · Deducción

Derivar una identidad

Partimos de f(f⁻¹(x))=x. La regla de la cadena produce:

Si el primer factor no es cero, podemos dividir:

Es la misma lógica de la derivación implícita: la variable interior depende de x y aporta su propia derivada.

05 · Interpretación geométrica

Reflejar una tangente intercambia su avance y elevación

La reflexión respecto de y=x transforma el vector tangente (1,m) en (m,1). Si m≠0, la nueva pendiente es 1/m.

Una pendiente muy grande se convierte en una pequeña. Una tangente horizontal de la función original corresponde normalmente a una tangente vertical de su inversa.

06 · Ejemplos directos

Potencias, exponenciales y logaritmos

En el caso exponencial, f′(u)=eᵘ. Como u=ln x, el denominador es eˡⁿˣ=x.

07 · Sin fórmula explícita

Calcular la pendiente con un punto correspondiente

Sea f(x)=x³+x+1. No necesitamos resolver su inversa para hallar (f⁻¹)′(3). Primero buscamos a tal que f(a)=3: a=1. Luego:

Este procedimiento es especialmente útil cuando la ecuación inversa es difícil o imposible de expresar con funciones elementales.

08 · Casos límite

Qué ocurre cuando f′(a)=0

Para f(x)=x³, f′(0)=0. La fórmula no permite dividir por cero. Su inversa ∛x existe y es continua, pero presenta tangente vertical en cero; allí no tiene derivada real finita.

También se requiere invertibilidad local. Una derivada no nula garantiza, bajo hipótesis regulares, que cerca del punto la función puede invertirse suavemente. Que exista una inversa global es una cuestión adicional.

09 · Recuperar reglas conocidas

Las inversas trigonométricas como aplicación

Al restringir seno a [−π/2,π/2], su inversa es arcoseno. Si y=arcsin x:

Para tangente restringida a (−π/2,π/2):

Así, las fórmulas del tema 24 son casos particulares del teorema general.

10 · Método

Cómo aplicar el teorema sin confusiones

1. Verificá la inversa. Confirmá que f sea uno a uno o restringí su dominio.
2. Buscá el punto original. Para evaluar en b, resolvé f(a)=b.
3. Calculá f′(a). No evalúes la derivada en b salvo que coincida con a.
4. Comprobá que no sea cero. Si lo es, el teorema no entrega una derivada finita.
5. Tomá el recíproco. Concluí (f⁻¹)′(b)=1/f′(a).

11 · Laboratorio interactivo

Reflejá la función y su pendiente

La curva verde es f, la naranja es f⁻¹ y la diagonal punteada es y=x. El punto (a,b) se refleja en (b,a).

12 · Implementación

Representar un par inverso

function inverseDerivative(f, df, inverse, x, epsilon = 1e-12) {
  const originalInput = inverse(x);
  const slope = df(originalInput);
  if (Math.abs(slope) < epsilon) return NaN;
  return 1 / slope;
}

const result = inverseDerivative(
  x => Math.exp(x),
  x => Math.exp(x),
  x => Math.log(x),
  5
);
console.log(result); // 0.2

El parámetro f documenta el par aunque la fórmula usa df e inverse. En software numérico conviene verificar además dominio, finitud y que f(inverse(x)) se aproxime a x.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: pendientes recíprocas

Si f(2)=7 y f′(2)=5, calculá (f⁻¹)′(7).

Ejercicio 2: inversa sin despejar

Si f(x)=x³+x, calculá (f⁻¹)′(2).

Ejercicio 3: función afín

Hallá la derivada de la inversa de 3x−4.

Ejercicio 4: exponencial y logaritmo

Usá el teorema de la función inversa para derivar ln x.

Ejercicio 5: condición de inyectividad

¿Por qué x² no tiene inversa en todo ℝ?

Ejercicio 6: derivada de la raíz

Derivá √x como inversa de x² restringida a x≥0.

Ejercicio 7: derivada no finita

¿Qué ocurre con la derivada de ∛x en cero?

Ejercicio 8: inversa decreciente

Si f′(a)=−4, ¿cómo varía su inversa?

15 · Síntesis

Ideas para recordar

El próximo tema utiliza logaritmos para derivar productos complejos y potencias de exponente variable.