Infinito potencial y crecimiento sin cota

01 · Punto de partida

No importa qué barrera elijamos

Una aplicación acumula registros, una población simulada se duplica y el número de operaciones de un algoritmo aumenta con el tamaño de la entrada. Decir que los valores “se hacen grandes” es intuitivo, pero no indica cuánto ni si el crecimiento termina estabilizándose.

La expresión crecimiento sin cota plantea un desafío más exigente: proponemos cualquier barrera finita y el proceso debe terminar superándola de manera permanente.

Las preguntas centrales serán:

• ¿qué significa superar una cota arbitraria?
• ¿alcanza con cruzarla una sola vez?
• ¿la sucesión necesita crecer en cada paso?
• ¿cómo se comparan los ritmos lineal, cuadrático y exponencial?
• ¿qué puede comprobar realmente un programa finito?

02 · Criterio preciso

Superar y permanecer

Sea una sucesión (xₙ). Escribimos intuitivamente xₙ→+∞ cuando se cumple:

Cada parte tiene una función:

1. 1
   Elegir cualquier cota B.

   No basta con superar 100 o un millón; el argumento debe servir para toda barrera finita.

2. 2
   Encontrar un índice N.

   El índice puede depender de la cota: una barrera mayor suele exigir esperar más.

3. 3
   Controlar todos los pasos posteriores.

   Desde N en adelante, la sucesión debe permanecer por encima de la cota.

La última condición diferencia crecer hacia infinito de tener picos aislados. Cruzar una barrera y regresar repetidamente por debajo no alcanza.

03 · Ejemplo paso a paso

Crecimiento lineal

Consideremos xₙ=3n+2. Queremos superar una cota arbitraria B:

Elegimos un entero N mayor que (B−2)/3. Entonces todo n≥N cumple 3n+2≥3N+2>B.

No calculamos infinitos términos. Encontramos una regla que produce un índice adecuado para cualquier cota que se proponga.

04 · Familias de crecimiento

Lineal, cuadrático, exponencial y logarítmico

Muchas funciones habituales crecen sin cota cuando la entrada positiva aumenta, pero lo hacen a ritmos muy diferentes:

Los cuatro pueden superar cualquier cota si permitimos que n crezca lo suficiente. Sin embargo, el índice necesario cambia enormemente. Para superar un millón:

• n necesita superar un millón;
• n² necesita superar 1000;
• 2ⁿ lo logra en n=20;
• log₂(n) exigiría n>2¹⁰⁰⁰⁰⁰⁰, un valor inimaginablemente grande.

05 · Crecer paso a paso

Monotonía facilita el análisis, pero no es obligatoria

Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Las sucesiones n, n² y 2ⁿ son crecientes para índices positivos.

Si una sucesión creciente supera una cota en el paso N, automáticamente todos los términos posteriores también la superan. La monotonía convierte “cruzar” en “cruzar y permanecer”.

Pero una sucesión puede crecer hacia +∞ sin aumentar en todos los pasos. Consideremos:

La sucesión sube y baja, pero sus valores bajos también aumentan. Como 2(−1)ⁿ≥−2, se cumple:

Para superar B de forma permanente basta exigir n−2>B, es decir, n>B+2.

06 · Una diferencia decisiva

No acotada no siempre significa tender a +∞

La sucesión

produce −1, 2, −3, 4, −5, 6, …. Tiene valores positivos arbitrariamente grandes y, por lo tanto, no está acotada superiormente. Sin embargo, no crece hacia +∞.

Para cualquier índice, aparece después un término impar negativo. La sucesión supera una cota positiva en algunos pasos pares, pero vuelve a caer por debajo. No existe un N desde el cual todos los términos permanezcan sobre la barrera.

07 · Comparar ritmos

Cocientes y dominancia

Una forma útil de comparar dos cantidades positivas es observar su cociente. Si f(n)/g(n) se hace cada vez mayor, f termina dominando a g.

Comparemos n² con n:

El cociente crece sin cota. La función cuadrática no solo produce valores mayores a partir de cierto momento: la proporción entre ambas también aumenta.

Para 2ⁿ y n², los primeros valores pueden ocultar la tendencia:

Una tabla pequeña no sustituye un análisis general, pero revela por qué el crecimiento exponencial se vuelve crítico rápidamente en algoritmos y simulaciones.

08 · La dirección opuesta

Disminuir sin cota

Una sucesión tiende a −∞ cuando termina quedando por debajo de cualquier cota inferior. En lenguaje preciso:

Por ejemplo, xₙ=−n². Para quedar por debajo de −100 necesitamos −n²<−100, equivalente a n²>100; basta n≥11.

Multiplicar por −1 invierte la dirección:

El valor absoluto puede crecer en ambas situaciones, pero no informa el signo. |−n²|=n² crece hacia +∞, mientras los valores originales disminuyen hacia −∞.

09 · Límites de la máquina

El crecimiento encuentra fronteras computacionales

En matemática podemos analizar 2ⁿ para índices arbitrariamente grandes. En JavaScript, los números usan una representación finita. Para n=1024, la potencia desborda:

console.log(2 ** 1023); // número finito cercano a 8.99e307
console.log(2 ** 1024); // Infinity

for (let n = 1000; n <= 1030; n += 1) {
  const valor = 2 ** n;
  if (!Number.isFinite(valor)) {
    console.log(`Desbordamiento en n = ${n}`);
    break;
  }
}

El desbordamiento no indica que la sucesión matemática haya “llegado al infinito”. Significa que el valor excedió el rango finito del tipo numérico.

Trabajar con logaritmos

Cuando solo necesitamos comparar órdenes de magnitud, podemos almacenar el logaritmo. En vez de calcular 2ⁿ, usamos:

Así evitamos construir el número enorme. Esta estrategia es habitual en probabilidades, aprendizaje automático y análisis de algoritmos.

10 · Exploración

Laboratorio: superar una cota

Seleccioná una sucesión, una cota y la cantidad de términos observados. El laboratorio distingue el primer término que supera la cota de la permanencia posterior dentro del fragmento calculado.

El eje horizontal representa el índice y el vertical el valor. La línea dorada marca la cota cuando queda dentro de la escala visible. Los puntos representan solo una muestra finita.

Preguntas para explorar

1. Con cota 500, compará cuántos términos necesitan los modelos lineal, cuadrático y exponencial.
2. En el modelo logarítmico, ¿no superar una cota dentro de 40 términos implica que nunca la superará?
3. Compará el modelo no monótono con el alternado. Ambos suben y bajan: ¿cuál termina permaneciendo sobre una cota fija?
4. En el modelo −n², elegí una cota negativa. ¿Qué comparación describe correctamente el crecimiento hacia −∞?

11 · Verificación computacional

Buscar cruces y permanencia en una muestra

Podemos analizar un fragmento finito y distinguir el primer cruce de una permanencia observada:

function analizarCota(regla, cota, cantidad) {
  const valores = Array.from(
    { length: cantidad },
    (_, indice) => regla(indice + 1)
  );

  const primerIndice = valores.findIndex(valor => valor > cota);
  const supera = primerIndice !== -1;
  const permaneceEnLaMuestra = supera
    && valores.slice(primerIndice).every(valor => valor > cota);

  return {
    primerN: supera ? primerIndice + 1 : null,
    permaneceEnLaMuestra,
    ultimo: valores.at(-1)
  };
}

console.log(analizarCota(n => 3 * n + 2, 50, 20));
// { primerN: 17, permaneceEnLaMuestra: true, ultimo: 62 }

El nombre permaneceEnLaMuestra es deliberado. El programa solo comprobó los términos generados; no demostró qué sucede para todo índice futuro.

Calcular un índice mediante la fórmula

function indiceParaLineal(cota, pendiente, ordenada) {
  if (pendiente <= 0) {
    throw new RangeError("La pendiente debe ser positiva");
  }
  // Buscamos el primer entero n ≥ 1 con pendiente*n + ordenada > cota.
  return Math.max(1, Math.floor((cota - ordenada) / pendiente) + 1);
}

console.log(indiceParaLineal(50, 3, 2));  // 17
console.log(indiceParaLineal(1000, 3, 2)); // 333

Usar la estructura del modelo permite responder para cualquier cota finita sin recorrer todos los términos anteriores.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: superar una barrera

Para xₙ=5n−4, encontrá el primer índice que garantiza xₙ>500.

Ejercicio 2: no monótona pero sin cota

Demostrá que xₙ=n+(−1)ⁿ termina superando cualquier cota B.

Ejercicio 3: distinguir no acotación

Analizá xₙ=0 para índices impares y xₙ=n² para índices pares. ¿Está acotada? ¿Tiende a +∞?

Ejercicio 4: comparar modelos

Encontrá mediante JavaScript el primer n entre 1 y 100 para el cual 2ⁿ>n³ y la desigualdad se mantiene en todos los índices restantes de la muestra.

const datos = Array.from({ length: 100 }, (_, indice) => {
  const n = indice + 1;
  return { n, exponencial: 2 ** n, cubica: n ** 3 };
});

const resultado = datos.find((dato, indice) =>
  dato.exponencial > dato.cubica
  && datos.slice(indice).every(item => item.exponencial > item.cubica)
);

console.log(resultado.n); // 10

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las aproximaciones numéricas: cómo reemplazar valores exactos por estimaciones útiles y cómo comunicar la tolerancia o calidad del resultado.