Aproximaciones numéricas

01 · Punto de partida

No siempre necesitamos —ni podemos obtener— el valor exacto

La diagonal de un cuadrado de lado 1 mide exactamente √2, pero su escritura decimal no termina. El número π describe exactamente la relación entre circunferencia y diámetro, aunque una pantalla muestre 3.14159. Un sensor entrega una medición condicionada por su resolución y una simulación calcula estados mediante pasos finitos.

En todos estos casos trabajamos con aproximaciones. El problema no consiste solamente en producir muchos decimales, sino en responder:

• ¿cuál es el valor exacto o de referencia?
• ¿por qué necesitamos aproximarlo?
• ¿sabemos si la aproximación queda por debajo o por encima?
• ¿qué distancia al valor buscado estamos dispuestos a aceptar?
• ¿cuánto cuesta mejorar el resultado?

02 · Dos tipos de resultado

Valor exacto y valor aproximado

Un valor exacto describe la cantidad sin sustitución ni pérdida de información. Puede escribirse mediante una fracción, una raíz, una constante o una expresión:

• 1/3 es exacto;
• √2 es exacto;
• π es exacto;
• sen(π/6)=1/2 es una igualdad exacta.

Un valor aproximado reemplaza esa cantidad por otra cercana y manejable:

Exacto no significa necesariamente “decimal largo”. La fracción 1/3 es más exacta que una cadena con cien cifras 3 seguida de un corte.

03 · Escribir con precisión

Igualdad y aproximación no usan el mismo símbolo

El signo = afirma que dos expresiones representan exactamente el mismo valor. El símbolo ≈ comunica que son cercanas según algún criterio:

Escribir √2=1.4142 es falso: al elevar 1.4142 al cuadrado obtenemos aproximadamente 1.99996164, no exactamente 2.

En código, el operador === tampoco expresa cercanía; compara los valores representados. Una condición de aproximación debe usar una tolerancia explícita:

const aproximacion = 1.4142;
const referencia = Math.sqrt(2);
const tolerancia = 0.0001;

console.log(aproximacion === referencia); // false
console.log(Math.abs(aproximacion - referencia) < tolerancia); // true

04 · De dónde aparece

Distintas fuentes de aproximación

No todas las aproximaciones tienen el mismo origen. Reconocerlo ayuda a interpretar y mejorar el resultado:

Agregar decimales no corrige automáticamente un modelo inadecuado ni una medición sesgada. Cada fuente exige una estrategia diferente.

05 · Encerrar el valor

Cotas inferiores y superiores

Una forma poderosa de aproximar consiste en ubicar el valor buscado dentro de un intervalo conocido. Como

podemos concluir:

Los números 1.4 y 1.5 son cotas inferior y superior. El intervalo tiene longitud 0.1. Si refinamos:

obtenemos 1.41<√2<1.42, un intervalo diez veces más corto.

Si conocemos que L≤x≤U, el punto medio

queda a una distancia máxima de (U−L)/2 respecto de cualquier valor del intervalo. Así podemos comunicar una aproximación junto con una garantía.

06 · Cuándo es suficiente

Elegir una tolerancia

Una tolerancia fija la diferencia máxima aceptable. Si el valor exacto o de referencia es x y la aproximación es a, pedimos:

La tolerancia forma un entorno alrededor del valor buscado. Cuanto menor sea, más exigente será el criterio.

07 · Mejorar paso a paso

Métodos iterativos

Un método iterativo comienza con una estimación y aplica repetidamente una regla para producir estimaciones mejores. Para aproximar √S, el método babilónico —un caso del método de Newton— usa:

Si queremos √2 y comenzamos con x₀=1:

La regla combina la estimación actual con S/x. Si una queda por encima de la raíz, la otra tiende a quedar por debajo; el promedio equilibra ambas.

08 · Refinar un intervalo

Aproximar mediante bisección

La bisección mantiene dos cotas y reduce a la mitad el intervalo en cada paso. Para buscar √2 comenzamos con [1,2]:

1. 1
   Calcular el punto medio.

   m=(1+2)/2=1.5.

2. 2
   Comparar.

   Como 1.5²>2, la raíz queda en [1,1.5].

3. 3
   Repetir.

   El nuevo punto medio es 1.25; como 1.25²<2, conservamos [1.25,1.5].

Después de n iteraciones, la longitud del intervalo inicial se dividió por 2ⁿ. El método no suele avanzar tan rápido como Newton cerca de la solución, pero conserva una garantía clara: la raíz permanece encerrada entre las cotas.

09 · Detener el proceso

Criterios de parada

Un método matemático puede describir mejoras indefinidas, pero un programa debe detenerse. Podemos usar distintos criterios:

• cantidad fija: realizar exactamente n iteraciones;
• cambio pequeño: detener cuando dos estimaciones consecutivas difieren menos que una tolerancia;
• residuo pequeño: para una raíz, exigir que |x²−S| sea pequeño;
• intervalo corto: detener bisección cuando las cotas estén suficientemente cerca;
• límite de seguridad: imponer un máximo de iteraciones aunque la tolerancia no se alcance.

Estos criterios miden cosas relacionadas, pero diferentes. Un residuo pequeño no siempre equivale a una distancia pequeña a la solución, especialmente en problemas sensibles. Además, comparar solo x siguiente === x actual detecta estancamiento de la representación, no exactitud matemática.

10 · Exploración

Laboratorio: aproximar una raíz cuadrada

Elegí el número, el método y la cantidad de iteraciones. El gráfico muestra las estimaciones y la línea del valor de referencia calculado por el navegador.

El eje horizontal representa la iteración y el vertical la estimación. La línea dorada es la referencia, los puntos violetas son las aproximaciones y el punto coral es el último resultado.

Preguntas para explorar

1. Conservá S=10 y compará cuántas iteraciones necesitan ambos métodos.
2. En Newton, cambiá la estimación inicial. ¿Llega siempre por el mismo recorrido?
3. En bisección, observá cómo la distancia no necesariamente disminuye en cada punto medio, aunque el intervalo sí se reduce.
4. Buscá el menor número de iteraciones que deja el residuo por debajo de 0.000001.

11 · Implementación segura

Aproximar hasta una tolerancia

Una implementación de Newton debe validar entradas, medir el cambio y conservar un máximo de iteraciones:

function raizNewton(numero, tolerancia = 1e-10, maximo = 100) {
  if (!Number.isFinite(numero) || numero < 0) {
    throw new RangeError("El número debe ser finito y no negativo");
  }
  if (tolerancia <= 0 || !Number.isInteger(maximo) || maximo < 1) {
    throw new RangeError("Tolerancia o máximo inválidos");
  }
  if (numero === 0) return { valor: 0, iteraciones: 0 };

  let actual = Math.max(1, numero / 2);
  for (let iteracion = 1; iteracion <= maximo; iteracion += 1) {
    const siguiente = (actual + numero / actual) / 2;
    if (Math.abs(siguiente - actual) < tolerancia) {
      return { valor: siguiente, iteraciones: iteracion };
    }
    actual = siguiente;
  }
  return { valor: actual, iteraciones: maximo, advertencia: "Máximo alcanzado" };
}

console.log(raizNewton(10));

Devolver información, no solo un número

Entregar cantidad de iteraciones y una advertencia permite saber cómo terminó el cálculo. En aplicaciones más exigentes también conviene incluir:

• el residuo final;
• la tolerancia solicitada;
• si el criterio se alcanzó;
• las cotas disponibles;
• un historial opcional para diagnóstico.

Un número aislado puede parecer definitivo. Los metadatos preservan el contexto de la aproximación.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: exacto o aproximado

Clasificá estas expresiones: 3/8, 0.375, π, 3.14, √9 y 3.

Ejercicio 2: usar cotas

Mostrá que 2.2<√5<2.3 y calculá la distancia máxima al usar el punto medio como aproximación.

Ejercicio 3: dos pasos de Newton

Aproximá √5 desde x₀=2 realizando dos iteraciones de x siguiente=(x+5/x)/2.

Ejercicio 4: bisección programada

Implementá cinco pasos de bisección para aproximar √7, comenzando con el intervalo [0,7].

function aproximarRaizPorBiseccion(numero, pasos) {
  let inferior = 0;
  let superior = Math.max(1, numero);

  for (let i = 0; i < pasos; i += 1) {
    const medio = (inferior + superior) / 2;
    if (medio ** 2 < numero) inferior = medio;
    else superior = medio;
  }

  return {
    inferior,
    superior,
    aproximacion: (inferior + superior) / 2
  };
}

console.log(aproximarRaizPorBiseccion(7, 5));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema definiremos error absoluto y error relativo: dos maneras complementarias de cuantificar la diferencia entre una aproximación y su valor de referencia.