Límites y denominador común

01 · Fracciones que se restan

La indeterminación puede estar escondida

Algunos límites contienen una suma o diferencia de fracciones dentro de otra fracción. La sustitución directa produce 0/0, pero no aparece inmediatamente un factor que podamos cancelar.

En el numerador, 1/x → 1, por lo que la diferencia tiende a cero. El denominador también tiende a cero. Antes de factorizar debemos convertir el numerador en una sola fracción:

Ahora aparece el factor relacionado con x − 1. El denominador común transforma una diferencia de fracciones en una expresión que podemos simplificar.

02 · Regla algebraica

Cómo construir un denominador común

Para sumar o restar dos fracciones usamos:

Los signos y los paréntesis son importantes. Si restamos una fracción completa, el signo menos afecta a todo su numerador.

No siempre necesitamos multiplicar todos los denominadores. Conviene usar el mínimo común denominador para mantener la expresión lo más simple posible.

03 · Dos niveles de división

Interpretar una fracción compleja

La expresión del ejemplo puede verse como:

Dividir por x − 1 equivale a multiplicar por su recíproco:

Como 1 − x = −(x − 1), para x ≠ 1:

Finalmente:

04 · Método general

Resolver paso a paso

1. 1
   Sustituir.

   Confirmar la forma indeterminada e identificar qué parte tiende a cero.

2. 2
   Reunir las fracciones internas.

   Elegir un denominador común y combinar los numeradores.

3. 3
   Simplificar el numerador combinado.

   Distribuir signos y factorizar cuando sea necesario.

4. 4
   Eliminar la fracción compleja.

   Multiplicar por el recíproco del denominador exterior.

5. 5
   Cancelar factores comunes.

   Registrar las restricciones que justifican cada cancelación.

6. 6
   Volver a sustituir.

   Evaluar la expresión simplificada.

7. 7
   Comprobar.

   Comparar con valores próximos desde ambos lados.

05 · Restar un valor constante

La constante también se convierte en fracción

Calculemos:

Usamos x − 1 como denominador común en el numerador:

La resta requiere distribuir el signo: 1 − (x − 1) = 2 − x. Luego:

06 · Dos términos variables

Diferencia entre dos recíprocos

Para una constante a ≠ 0, consideremos:

El denominador común del numerador es ax:

Entonces:

La condición a ≠ 0 es necesaria porque la expresión contiene 1/a. Además, las entradas próximas deben evitar x = 0.

07 · Fracciones con numeradores variables

Distribuir antes de factorizar

Estudiemos:

El denominador común del numerador es 2(x + 1):

Dividimos por x − 1 y cancelamos:

Si olvidáramos los paréntesis en 2x − (x + 1), obtendríamos 2x − x + 1, cambiaríamos el signo del término constante y perderíamos el factor buscado.

08 · Factorización adicional

Cuando el denominador exterior también se factoriza

Calculemos:

Combinamos el numerador y factorizamos el denominador exterior:

La fracción compleja se convierte en:

Aquí solo se cancela un factor x − 1 procedente del numerador. Todavía queda otra copia en el denominador, de modo que la expresión crece sin cota con signos diferentes a cada lado. El límite bilateral finito no existe.

09 · Dominio

Conservar todas las restricciones

Cada denominador impone una condición. En una fracción compleja pueden aparecer varias:

• x ≠ 0, porque aparece 1/x.
• x ≠ 2, porque la expresión completa divide por x − 2.
• La forma simplificada −1/(2x) puede evaluarse en x = 2 para obtener el límite, pero no redefine el valor original.

Las restricciones eliminadas durante una cancelación siguen perteneciendo al dominio de la expresión original. Conviene anotarlas antes de comenzar.

10 · Perspectiva computacional

Restar recíprocos cercanos pierde precisión

Si x está muy cerca de a, los números 1/x y 1/a son casi iguales. Restarlos puede eliminar cifras significativas. La identidad

evita restar dos resultados redondeados y suele ser más estable.

const diferenciaDirecta = (x, a) => 1 / x - 1 / a;
const diferenciaEstable = (x, a) => (a - x) / (a * x);

const a = 2;
for (const h of [1e-4, 1e-8, 1e-12, 1e-15]) {
  const x = a + h;
  console.log({
    h,
    directa: diferenciaDirecta(x, a),
    estable: diferenciaEstable(x, a)
  });
}

La fórmula estable conserva explícitamente la pequeña diferencia a − x antes de dividir. Como en la racionalización, la transformación algebraica también mejora un cálculo computacional.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: reunir, simplificar y comparar

Elegí una fracción compleja y reducí h. El laboratorio muestra el denominador común, la forma simplificada y la diferencia entre la evaluación original y la estable.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué denominador común utiliza cada ejemplo?
2. ¿Qué signo aparece al reescribir a − x como múltiplo de x − a?
3. ¿En qué ejemplo queda un factor sin cancelar?
4. ¿Cuándo comienza a perder precisión la fórmula original?

12 · Implementación reusable

Calcular con una forma algebraicamente estable

Podemos implementar directamente la identidad de la diferencia de recíprocos:

function diferenciaDeReciprocos(x, a) {
  if (x === 0 || a === 0) {
    throw new RangeError("x y a deben ser distintos de cero");
  }
  return (a - x) / (a * x);
}

console.log(diferenciaDeReciprocos(2.001, 2));
console.log(diferenciaDeReciprocos(1.999, 2));

Comparar una fracción compleja

const original = x => (1 / x - 1 / 2) / (x - 2);
const simplificada = x => -1 / (2 * x);

function comparar(x) {
  return {
    x,
    original: original(x),
    simplificada: simplificada(x),
    diferencia: Math.abs(original(x) - simplificada(x))
  };
}

console.log(comparar(2.001));
console.log("Límite:", simplificada(2));

Evaluamos la forma original solo fuera del punto. La forma simplificada permite obtener el límite en x = 2, respetando que la expresión original continúa indefinida allí.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: recíproco básico

Calculá lim(x → 2) [1/x − 1/2]/(x − 2).

Ejercicio 2: constante desplazada

Calculá lim(x → 3) [1/(x − 1) − 1/2]/(x − 3).

Ejercicio 3: numerador variable

Calculá lim(x → 2) [x/(x + 2) − 1/2]/(x − 2).

Ejercicio 4: parámetro general

Para a ≠ 0, explicá por qué lim(x → a) [1/x − 1/a]/(x − a) = −1/a².

Ejercicio 5: encontrar un error de signo

Una persona escribe 1/(x − 1) − 1 = [1 − x − 1]/(x − 1). Corregí el cálculo.

Ejercicio 6: implementación estable

Compará las formas directa y estable de 1/x − 1/3 para x = 3 + 1e-12.

const a = 3;
const x = a + 1e-12;
const directa = 1 / x - 1 / a;
const estable = (a - x) / (a * x);

console.log("Directa:", directa);
console.log("Estable:", estable);
console.log("Diferencia:", Math.abs(directa - estable));

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos cómo analizar límites de funciones definidas por partes, eligiendo la fórmula adecuada en cada lado.