Límites mediante racionalización

01 · El problema con las raíces

Una resta que produce 0/0

Algunas indeterminaciones no presentan un factor común visible. Es frecuente encontrarlas cuando el numerador o el denominador contiene una diferencia de raíces.

La sustitución directa produce:

No podemos factorizar √x − 2 como un polinomio ordinario. Sin embargo, podemos multiplicarlo por √x + 2 para generar una diferencia de cuadrados y revelar el factor x − 4.

02 · La herramienta

Qué es una expresión conjugada

Dos binomios con los mismos términos y signo central opuesto son conjugados:

Su producto elimina los términos cruzados:

Si A = √x y B = 2, entonces:

El conjugado cambia únicamente el signo que separa los dos términos. No cambiamos los signos internos de los radicandos.

03 · Conservar la expresión

Multiplicar por uno de una forma útil

No podemos multiplicar solamente el numerador o el denominador, porque alteraríamos el valor del cociente. Multiplicamos por una fracción igual a uno:

Aplicado al ejemplo:

Ahora podemos sustituir:

La expresión original y la racionalizada coinciden para los valores cercanos a 4, aunque la original conserve un hueco exactamente en ese punto.

04 · Método general

Racionalización paso a paso

1. 1
   Sustituir.

   Confirmar que aparece una forma indeterminada, normalmente 0/0.

2. 2
   Localizar la diferencia de raíces.

   Determinar si está en el numerador o en el denominador.

3. 3
   Construir el conjugado.

   Conservar los términos y cambiar el signo que los separa.

4. 4
   Multiplicar arriba y abajo.

   Multiplicar por una fracción equivalente a uno.

5. 5
   Aplicar la diferencia de cuadrados.

   Simplificar el producto de conjugados.

6. 6
   Cancelar el factor común.

   Conservar la condición x ≠ a.

7. 7
   Volver a sustituir.

   Evaluar la nueva expresión en el punto.

05 · Raíz en el numerador

Una raíz desplazada

Calculemos:

La sustitución produce 0/0. Multiplicamos por la conjugada del numerador:

El producto del numerador es:

Entonces, para x ≠ 0:

06 · Raíz en el denominador

Racionalizar debajo de la fracción

Consideremos:

Multiplicamos por la conjugada del denominador:

El denominador se transforma en:

Para x ≠ 0:

07 · Dos expresiones radicales

Racionalizar una diferencia de raíces

Estudiemos:

Ambas raíces se acercan a √7, por lo que aparece 0/0. La conjugada del numerador es √(x + 4) + √(2x + 1).

Como 3 − x = −(x − 3), queda:

Los paréntesis alrededor de 2x + 1 son importantes al restar los cuadrados: (x + 4) − (2x + 1).

08 · Cuidar los coeficientes

El factor resultante puede no ser x − a

Calculemos:

Después de multiplicar por el conjugado, el numerador se convierte en:

Cancelamos x − 1 y conservamos el factor 3:

Un error frecuente consiste en cancelar todo el numerador y olvidar el coeficiente que aparece al factorizar.

09 · Restricciones

La racionalización no elimina el dominio

Transformar una expresión no autoriza valores que las raíces originales no admitían. En los números reales, todo radicando de índice par debe ser no negativo.

Antes y después de racionalizar debemos registrar el dominio original y cualquier denominador que no pueda anularse.

10 · Perspectiva computacional

Evitar la cancelación numérica

La expresión √(1 + x) − 1 resta números casi iguales cuando x es pequeño. En punto flotante, esa operación puede perder cifras significativas. La identidad racionalizada

es matemáticamente equivalente, pero suele ser más estable.

const formaDirecta = x => Math.sqrt(1 + x) - 1;
const formaEstable = x => x / (Math.sqrt(1 + x) + 1);

for (const x of [1e-4, 1e-8, 1e-12, 1e-16]) {
  console.log({
    x,
    directa: formaDirecta(x),
    estable: formaEstable(x)
  });
}

Para x extremadamente pequeño, la forma directa puede devolver cero porque 1 + x se redondea o porque la resta pierde precisión. La forma racionalizada evita esa resta problemática.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: original frente a racionalizada

Elegí un ejemplo y reducí h. El laboratorio presenta el conjugado, la fórmula simplificada y la diferencia numérica entre las dos versiones.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué signo cambia al construir cada conjugado?
2. ¿Qué factor aparece después de aplicar la diferencia de cuadrados?
3. ¿A partir de qué nivel la fórmula original pierde precisión?
4. ¿Por qué la forma racionalizada puede evaluarse en el punto aunque la original no?

12 · Implementación reusable

Comparar estabilidad y error

Podemos tomar la forma racionalizada como referencia y medir el error de la evaluación directa:

function compararEstabilidad(directa, estable, valores) {
  return valores.map(x => {
    const valorDirecto = directa(x);
    const valorEstable = estable(x);
    return {
      x,
      valorDirecto,
      valorEstable,
      errorAbsoluto: Math.abs(valorDirecto - valorEstable)
    };
  });
}

const directa = x => Math.sqrt(1 + x) - 1;
const estable = x => x / (Math.sqrt(1 + x) + 1);

console.log(compararEstabilidad(directa, estable, [1e-4, 1e-8, 1e-12]));

Conservar el dominio original

function cocienteRacionalizado(x) {
  if (x < 0) {
    throw new RangeError("x debe pertenecer al dominio de √x");
  }
  if (x === 4) {
    return {
      original: "no definida",
      extension: 1 / (Math.sqrt(x) + 2)
    };
  }
  return {
    original: (Math.sqrt(x) - 2) / (x - 4),
    extension: 1 / (Math.sqrt(x) + 2)
  };
}

console.log(cocienteRacionalizado(4));
console.log(cocienteRacionalizado(4.001));

La propiedad extension representa la fórmula simplificada que completa el hueco. El nombre evita confundirla con el valor de la expresión original.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: conjugado básico

Calculá lim(x → 9) (√x − 3)/(x − 9).

Ejercicio 2: desplazamiento

Calculá lim(x → 0) [√(x + 16) − 4]/x.

Ejercicio 3: raíz en el denominador

Calculá lim(x → 0) x/[√(x + 4) − 2].

Ejercicio 4: coeficiente

Calculá lim(x → 0) [√(2x + 9) − 3]/x.

Ejercicio 5: dos raíces

Calculá lim(x → 0) [√(x + 4) − √(x + 1)].

Ejercicio 6: implementar una forma estable

Escribí las versiones directa y racionalizada de √(4 + x) − 2 y comparalas para x = 1e-12.

const x = 1e-12;
const directa = Math.sqrt(4 + x) - 2;
const estable = x / (Math.sqrt(4 + x) + 2);

console.log("Directa:", directa);
console.log("Racionalizada:", estable);
console.log("Diferencia:", Math.abs(directa - estable));

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema resolveremos indeterminaciones formadas por diferencias de fracciones mediante un denominador común.