Indeterminación 0/0 y factorización

01 · Una forma indeterminada

Obtener 0/0 no termina el cálculo

Al sustituir directamente en un cociente podemos obtener numerador cero y denominador cero. La expresión 0/0 no representa un número y tampoco determina por sí sola si el límite existe.

La sustitución produce:

Este resultado indica que numerador y denominador se anulan simultáneamente. Puede existir un factor común responsable del problema puntual. Si logramos exponerlo mediante factorización, podremos estudiar la expresión para x cercano pero distinto del punto.

02 · Muchos resultados posibles

La misma forma puede ocultar límites diferentes

Que dos partes tiendan a cero no dice con qué rapidez lo hacen. Tres cocientes que producen 0/0 al sustituir en x = 0 muestran resultados distintos:

Las tres sustituciones producen 0/0, pero los límites son diferentes. Por eso no podemos asignar un valor fijo a la forma indeterminada.

03 · El mecanismo algebraico

Factorizar para descubrir el comportamiento cercano

En el ejemplo inicial, el numerador es una diferencia de cuadrados:

Entonces, para x ≠ 1:

La expresión original y x + 1 coinciden en todos los puntos próximos a 1, salvo exactamente en 1. Como el límite estudia los valores cercanos, podemos usar la expresión simplificada:

La simplificación elimina la causa algebraica del hueco, no modifica arbitrariamente la función alrededor del punto.

04 · Condición esencial

Cancelar factores, no términos

La cancelación solo es válida entre factores que multiplican todo el numerador y todo el denominador. No pueden cancelarse partes de una suma o resta.

También debemos conservar la restricción. La igualdad

es cierta para x ≠ 2. La expresión izquierda no está definida en 2, mientras que la derecha sí. Son iguales alrededor del punto, que es exactamente lo que necesitamos para el límite.

05 · Herramientas de factorización

Patrones que aparecen con frecuencia

El objetivo no es factorizar por costumbre, sino buscar el factor que también aparece en el denominador y que se anula en el punto.

06 · Método de resolución

Del 0/0 al resultado

1. 1
   Sustituir.

   Confirmar que aparece la forma 0/0.

2. 2
   Identificar el patrón.

   Buscar factor común, diferencia de cuadrados, trinomio o cubos.

3. 3
   Factorizar completamente.

   Reescribir numerador y, si hace falta, denominador.

4. 4
   Cancelar el factor común.

   Declarar que la simplificación vale para x ≠ a.

5. 5
   Volver a sustituir.

   Evaluar la expresión simplificada en el punto.

6. 6
   Comprobar.

   Contrastar el resultado con valores cercanos o un gráfico.

Si después de factorizar continúa apareciendo 0/0, puede ser necesario extraer más factores o utilizar otra técnica.

07 · Ejemplo con un trinomio

Factorizar el numerador completo

Calculemos:

La sustitución produce 0/0. Buscamos dos números que sumen −5 y cuyo producto sea 6: −2 y −3.

La expresión original tiene un hueco en (2, −1). La expresión simplificada muestra la recta que describe todos sus demás puntos.

08 · Potencias superiores

Diferencias y sumas de cubos

Para una diferencia de cubos:

Para una suma de cubos:

Los signos del factor cuadrático cambian entre diferencia y suma. Conviene verificar la factorización multiplicando los factores antes de continuar.

09 · Perspectiva computacional

La forma simplificada también puede ser más estable

Matemáticamente, las expresiones original y simplificada coinciden para x ≠ a. En punto flotante, la fórmula original puede perder precisión cuando resta números casi iguales.

const original = x => (x ** 2 - 1) / (x - 1);
const simplificada = x => x + 1;

for (const h of [1e-4, 1e-8, 1e-12]) {
  const x = 1 + h;
  console.log({
    h,
    original: original(x),
    simplificada: simplificada(x)
  });
}

En la expresión original, x² − 1 y x − 1 se obtienen restando valores próximos. Para pasos extremadamente pequeños, el redondeo puede degradar el cociente. La fórmula simplificada requiere menos operaciones y evita esa cancelación numérica.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: factorizar, cancelar y comparar

Elegí un ejemplo y reducí la distancia h. El laboratorio muestra cada etapa algebraica y compara la fórmula original con la simplificada.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué factor se cancela en cada ejemplo?
2. ¿Por qué la restricción x ≠ a no impide calcular el límite?
3. ¿En qué nivel de aproximación comienzan a diferir numéricamente las dos fórmulas?
4. ¿Qué ventaja computacional tiene evaluar la expresión simplificada?

11 · Implementación reusable

Comparar dos fórmulas equivalentes

Podemos construir una herramienta que mida la diferencia entre la fórmula original y la simplificada:

function compararFormulas(original, simplificada, x) {
  const valorOriginal = original(x);
  const valorSimplificado = simplificada(x);

  return {
    x,
    valorOriginal,
    valorSimplificado,
    diferencia: Math.abs(valorOriginal - valorSimplificado)
  };
}

const original = x => (x ** 3 - 8) / (x - 2);
const simplificada = x => x ** 2 + 2 * x + 4;

console.log(compararFormulas(original, simplificada, 2.001));

Evitar evaluar la fórmula original en el hueco

function evaluarCercaDelHueco(original, simplificada, a, h) {
  if (h === 0) {
    return {
      original: "no definida en el punto",
      limite: simplificada(a)
    };
  }

  const x = a + h;
  return {
    x,
    original: original(x),
    simplificada: simplificada(x)
  };
}

const f = x => (x ** 2 - 4) / (x - 2);
const fSimplificada = x => x + 2;

console.log(evaluarCercaDelHueco(f, fSimplificada, 2, 0));
console.log(evaluarCercaDelHueco(f, fSimplificada, 2, 1e-4));

La función simplificada puede evaluarse en a para obtener el límite, pero esto no redefine automáticamente la expresión original.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: diferencia de cuadrados

Calculá lim(x → 3) (x² − 9)/(x − 3).

Ejercicio 2: trinomio

Calculá lim(x → 4) (x² − 7x + 12)/(x − 4).

Ejercicio 3: factor común

Calculá lim(x → 0) (5x² − 2x)/x.

Ejercicio 4: diferencia de cubos

Calculá lim(x → 3) (x³ − 27)/(x − 3).

Ejercicio 5: detectar una cancelación inválida

Una persona simplifica (x² + 2)/(x + 2) cancelando los términos x² y x. Explicá por qué el procedimiento es incorrecto.

Ejercicio 6: comparar con código

Implementá las fórmulas original y simplificada del ejercicio 1 y comparalas en x = 3.0001.

const original = x => (x ** 2 - 9) / (x - 3);
const simplificada = x => x + 3;
const x = 3.0001;

console.log("Original:", original(x));
console.log("Simplificada:", simplificada(x));
console.log("Diferencia:", Math.abs(original(x) - simplificada(x)));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema resolveremos límites con raíces mediante la técnica de racionalización y expresiones conjugadas.