Continuidad en intervalos

01 · Extensión de la idea

Continuidad punto por punto

Decir que una función es continua en un intervalo significa que satisface la condición de continuidad en cada punto que corresponda examinar dentro de ese intervalo.

La continuidad en un intervalo no es una propiedad nueva separada de la continuidad puntual: es la exigencia de que la propiedad local se cumpla sistemáticamente en una región completa.

Por ejemplo, f(x) = x² es continua en (−2, 3), en [0, 10] y, de hecho, en todo ℝ.

02 · Intervalos abiertos

Todos los puntos son interiores

Una función es continua en el intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto c que satisface:

En cada uno de esos puntos analizamos un límite bilateral:

Los extremos a y b no pertenecen al intervalo, por lo que la definición no exige que la función esté definida ni sea continua allí.

Por ejemplo, 1/x es continua en (0, 5). El problema de la función en x = 0 no invalida esta afirmación porque cero no pertenece al intervalo.

03 · Intervalos cerrados

En los extremos miramos hacia el interior

Para que f sea continua en [a, b] se requiere:

• continuidad bilateral en cada c ∈ (a, b);
• continuidad por la derecha en a;
• continuidad por la izquierda en b.

No pedimos información desde fuera del intervalo. Si el recorrido permitido comienza en a, solo tiene sentido aproximarse a ese extremo usando entradas del intervalo.

04 · Intervalos semiabiertos

Solo se comprueba el extremo incluido

La función √x es continua en [0, 4): en cero usamos el límite por la derecha y no exigimos nada especial en cuatro porque ese extremo no está incluido.

05 · Intervalos no acotados

El infinito nunca es un extremo incluido

Los intervalos (a, +∞), [a, +∞), (−∞, b) y (−∞, b] también pueden ser regiones de continuidad.

Los símbolos +∞ y −∞ siempre llevan paréntesis porque no son números reales ni puntos del dominio.

Por ejemplo:

• ln(x) es continua en (0, +∞);
• √(x − 1) es continua en [1, +∞);
• 1/(x − 2) es continua en (−∞, 2) y en (2, +∞).

No se exige «continuidad en infinito». Lo que puede estudiarse allí es un límite al infinito, una pregunta diferente.

06 · Dominio

Primero determinar dónde existe la función

Una función no puede ser continua en un punto donde no está definida. Por eso, el análisis de intervalos comienza con el dominio.

Los puntos excluidos dividen la recta real en regiones. Luego verificamos la continuidad dentro de cada región y en los extremos que pertenezcan al dominio.

07 · Regiones conectadas

Buscar intervalos máximos de continuidad

Un intervalo de continuidad es máximo cuando no puede ampliarse sin incluir un punto donde la función deja de estar definida o deja de ser continua.

Para:

el denominador se anula en x = −1 y x = 1. Esos puntos separan el dominio en tres intervalos máximos:

También sería correcto afirmar que la función es continua en un subintervalo como (2, 5), pero ese intervalo no describe toda la región disponible.

08 · Familias básicas

Reconocer continuidad a partir de la fórmula

Estas conclusiones combinan los dominios conocidos con la continuidad de las funciones elementales en los puntos donde están definidas.

09 · Ejemplos resueltos

Traducir restricciones a intervalos

Raíz cuadrada

Exigimos 2x − 6 ≥ 0, de donde x ≥ 3. La función es continua en [3, +∞).

Logaritmo

Exigimos x + 4 > 0, de donde x > −4. La función es continua en (−4, +∞).

Cociente

Excluimos x = 1 y x = −3. Los intervalos máximos son (−∞, −3), (−3, 1) y (1, +∞).

10 · Método de resolución

Un algoritmo para encontrar los intervalos

1. 1
   Identificar la familia.

   Reconocer polinomios, cocientes, raíces, logaritmos o funciones trigonométricas.

2. 2
   Resolver las restricciones.

   Calcular el dominio real de la expresión.

3. 3
   Ordenar los puntos críticos.

   Ubicar sobre la recta los valores que separan regiones.

4. 4
   Escribir cada intervalo.

   Usar paréntesis o corchetes según los extremos estén excluidos o incluidos.

5. 5
   Comprobar extremos incluidos.

   Utilizar el límite lateral dirigido hacia el intervalo.

6. 6
   Informar intervalos máximos.

   No fragmentar innecesariamente una región continua.

11 · Representación computacional

El dominio debe formar parte del modelo

Un programa que solo almacena una fórmula puede producir NaN o Infinity sin explicar qué región es válida. Es mejor representar por separado:

• la función que calcula la salida;
• el predicado que decide si una entrada pertenece al dominio;
• los puntos que separan intervalos;
• la notación de cada intervalo de continuidad.

Al graficar, el trazado debe interrumpirse entre componentes del dominio. Unir muestras situadas a ambos lados de un punto excluido inventa un segmento que la función no posee.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: recorrer el dominio

Elegí una función y mové el punto de prueba. El laboratorio identifica el componente del dominio que lo contiene y separa visualmente los intervalos.

Las líneas verticales punteadas señalan fronteras o puntos excluidos. El punto destacado corresponde a la entrada elegida.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué funciones incluyen una frontera finita en su dominio?
2. ¿Por qué los puntos excluidos de una función racional llevan paréntesis?
3. ¿Cuántos componentes aparecen para 1/(x² − 1)?
4. ¿Cómo se repiten los intervalos de continuidad de la tangente?

13 · Implementación

Separar cálculo y pertenencia al dominio

const racional = {
  perteneceAlDominio: x => x !== -1 && x !== 1,
  evaluar: x => 1 / (x ** 2 - 1)
};

function evaluarSeguro(modelo, x) {
  if (!modelo.perteneceAlDominio(x)) {
    return { definido: false, valor: null };
  }
  return { definido: true, valor: modelo.evaluar(x) };
}

console.log(evaluarSeguro(racional, 1));

Clasificar el componente

function componenteRacional(x) {
  if (x === -1 || x === 1) return null;
  if (x < -1) return "(-Infinity, -1)";
  if (x < 1) return "(-1, 1)";
  return "(1, +Infinity)";
}

console.log(componenteRacional(0));

No confundir muestreo con demostración

function muestrear(funcion, inicio, fin, cantidad) {
  return Array.from({ length: cantidad + 1 }, (_, i) => {
    const x = inicio + (fin - inicio) * i / cantidad;
    return { x, y: funcion(x) };
  });
}

const datos = muestrear(x => Math.sqrt(x - 1), 1, 4, 6);
console.log(datos);

El muestreo sirve para visualizar una región ya justificada. No garantiza continuidad entre los puntos evaluados.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: intervalo cerrado

Explicá qué debe comprobarse para que una función sea continua en [−2, 5].

Ejercicio 2: cociente

Encontrá los intervalos máximos de continuidad de (x + 1)/(x − 4).

Ejercicio 3: dos exclusiones

Encontrá los intervalos de continuidad de 1/(x² − 9).

Ejercicio 4: raíz

Determiná el intervalo de continuidad de √(5 − x).

Ejercicio 5: logaritmo

Determiná el intervalo de continuidad de ln(2x + 6).

Ejercicio 6: pensar como programador

Indicá por qué este muestreo no demuestra que 1/(x − 0,05) sea continua en [0, 1].

const f = x => 1 / (x - 0.05);

for (const x of [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]) {
  console.log(x, f(x));
}

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos los tipos de discontinuidad que pueden separar o alterar estos intervalos.