Tipos de discontinuidad

01 · Punto de partida

No todas las discontinuidades fallan igual

Una función no es continua en x = a si falla al menos una de las tres condiciones estudiadas:

La causa del fallo permite distinguir varios tipos de discontinuidad. La clasificación no es solo vocabulario: indica qué cálculo realizar, cómo dibujar el gráfico y si basta modificar un único valor para reparar la función.

02 · Árbol de decisión

Preguntar en el orden correcto

1. 1
   ¿Existen los límites laterales?

   Estudiar por separado izquierda y derecha.

2. 2
   ¿Son finitos y coinciden?

   Si coinciden en L, existe el límite bilateral finito.

3. 3
   ¿Existe f(a) y vale L?

   Si no, la discontinuidad es removible.

4. 4
   ¿Los laterales finitos son diferentes?

   En ese caso aparece una discontinuidad de salto.

5. 5
   ¿Algún lado crece sin cota?

   La discontinuidad es infinita.

6. 6
   ¿La función oscila sin aproximarse?

   La discontinuidad es oscilatoria.

El valor f(a) no puede cambiar lo que sucede en intervalos próximos al punto.

03 · Discontinuidad removible

El límite existe, pero falta el punto

Consideremos:

Para x ≠ 1, la expresión se simplifica a x + 1. Por tanto:

El límite bilateral existe y es finito, pero f(1) no está definido. El gráfico presenta un hueco en (1, 2).

La discontinuidad es removible porque puede eliminarse definiendo f(1) = 2.

04 · Valor desplazado

El punto existe, pero está en el lugar incorrecto

Supongamos que:

Los valores vecinos siguen aproximándose a 2:

También es una discontinuidad removible. El gráfico tiene un círculo vacío en (1, 2) y un punto lleno en (1, 5).

Para repararla, reemplazamos el valor aislado 5 por 2. No hace falta modificar la fórmula en los demás puntos.

05 · Discontinuidad de salto

Los laterales son finitos, pero diferentes

Sea una función que vale −1 a la izquierda de cero y 1 a la derecha:

Ambos límites laterales existen y son finitos, pero no coinciden. El límite bilateral no existe y aparece una discontinuidad de salto.

La magnitud del salto es la distancia entre los valores laterales:

Ninguna elección de f(0) puede unir simultáneamente ambos lados.

06 · Discontinuidad infinita

La función crece sin cota

Para f(x) = 1/x² en x = 0:

Las salidas superan cualquier cota al acercarse al punto. Esta es una discontinuidad infinita y la recta x = 0 es una asíntota vertical.

Los signos laterales también pueden ser diferentes, como en 1/x. Basta con que al menos un lado tenga comportamiento infinito para que la discontinuidad sea de este tipo.

07 · Discontinuidad oscilatoria

La función no se estabiliza

La función:

oscila cada vez más rápido entre −1 y 1 cuando x → 0. Podemos construir dos sucesiones que se acercan a cero por la derecha:

Como entradas cada vez más próximas producen dos tendencias distintas, no existe el límite. La función está acotada, pero presenta una discontinuidad oscilatoria.

08 · Comparación

Qué información distingue cada tipo

En clasificaciones tradicionales, la removible y la de salto suelen agruparse como discontinuidades de primera especie porque sus límites laterales finitos existen. Las infinitas y oscilatorias se consideran de segunda especie.

09 · Reparar o no reparar

Un valor puntual solo corrige un límite finito común

Modificar f(a) afecta un único punto. Por tanto, solo puede reparar la continuidad cuando los valores vecinos ya convergen a un mismo número L.

En las demás discontinuidades, el problema vive en intervalos enteros alrededor del punto:

• en un salto, las dos ramas apuntan a alturas diferentes;
• en una discontinuidad infinita, una rama no está acotada;
• en una oscilatoria, siguen apareciendo valores incompatibles a cualquier escala.

Para corregir esos casos habría que cambiar la función en más que un punto.

10 · Evidencia numérica

Las muestras pueden sugerir, pero también engañar

Una tabla bilateral ayuda a detectar patrones:

• valores próximos al mismo número sugieren un límite finito;
• dos niveles diferentes sugieren un salto;
• magnitudes crecientes sugieren una discontinuidad infinita;
• cambios persistentes sin estabilización sugieren oscilación.

Sin embargo, ninguna lista finita demuestra la clasificación. Una grilla regular puede coincidir accidentalmente con puntos especiales de una función oscilatoria.

También debemos distinguir NaN, Infinity y un valor ausente: son resultados computacionales, no nombres automáticos de tipos de discontinuidad.

11 · Representación computacional

Dibujar cada ruptura sin inventar segmentos

Un graficador debe representar explícitamente la estructura de la discontinuidad:

• círculo vacío para un valor límite no asignado;
• punto lleno para el valor real de f(a);
• trazos separados cuando los límites laterales no coinciden;
• interrupción cerca de una asíntota vertical;
• muestreo adaptativo para oscilaciones rápidas.

Unir ciegamente muestras consecutivas puede ocultar un hueco, crear una pared falsa o simplificar una oscilación compleja.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: clasificar la ruptura

Elegí un caso y reducí h. El laboratorio muestra las dos muestras laterales, el valor puntual y la clasificación correspondiente.

La línea punteada marca x = a. Los círculos vacíos muestran tendencias no asignadas y los puntos llenos, valores puntuales.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué dos modelos pueden repararse modificando solo f(a)?
2. ¿En cuál existen ambos límites laterales finitos pero no coinciden?
3. ¿Qué diferencia hay entre una salida muy grande y una oscilación acotada?
4. ¿Por qué unas pocas muestras no bastan para probar el caso oscilatorio?

13 · Implementación

Registrar evidencia lateral

function muestrasLaterales(funcion, a, niveles = 5) {
  return Array.from({ length: niveles }, (_, indice) => {
    const h = 10 ** -(indice + 1);
    return {
      h,
      izquierda: funcion(a - h),
      derecha: funcion(a + h)
    };
  });
}

console.log(muestrasLaterales(x => 1 / x ** 2, 0));

Representar el diagnóstico explícitamente

const diagnostico = {
  punto: 1,
  limiteIzquierdo: 2,
  limiteDerecho: 2,
  valorPuntual: null,
  tipo: "removible",
  reparacion: "definir f(1) = 2"
};

console.log(diagnostico);

Detectar un salto conocido

function clasificarLaterales(izquierdo, derecho, tolerancia = 1e-9) {
  if (!Number.isFinite(izquierdo) || !Number.isFinite(derecho)) {
    return "posible discontinuidad infinita";
  }
  if (Math.abs(izquierdo - derecho) > tolerancia) {
    return "discontinuidad de salto";
  }
  return "hay un límite finito común; falta comprobar f(a)";
}

console.log(clasificarLaterales(-1, 1));

Esta función recibe límites laterales ya establecidos. Unas muestras numéricas aisladas no bastan para producirlos automáticamente.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: factor cancelable

Clasificá la discontinuidad de (x² − 4)/(x − 2) en x = 2.

Ejercicio 2: valor incorrecto

Una función tiene límite 7 en a, pero f(a) = −1. Clasificá y repará.

Ejercicio 3: laterales distintos

Si el límite izquierdo vale 2 y el derecho 5, ¿qué tipo aparece?

Ejercicio 4: crecimiento sin cota

Clasificá la discontinuidad de −3/(x + 1)² en x = −1.

Ejercicio 5: oscilación

¿Por qué cos(1/x) no presenta una discontinuidad removible en cero?

Ejercicio 6: pensar como programador

Indicá por qué esta función no puede clasificar correctamente todas las discontinuidades:

function clasificar(funcion, a) {
  const valor = funcion(a);
  return Number.isFinite(valor) ? "continua" : "infinita";
}

console.log(clasificar(x => x < 0 ? -1 : 1, 0));

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estos diagnósticos a la continuidad en funciones definidas por partes.