01 · Varias reglas
Una función puede cambiar de fórmula
Una función definida por partes utiliza reglas distintas según la región a la que pertenece la entrada.
Para evaluar f(0) usamos la primera fórmula. Para evaluar f(3) usamos la segunda. En x = 2, el símbolo ≥ indica que la segunda rama contiene el valor puntual.
El cambio de fórmula no implica automáticamente una discontinuidad. Las dos ramas pueden encontrarse exactamente en el punto de unión.
02 · Evaluación
Primero leer la condición, después calcular
En una definición por partes, la condición forma parte de la regla. Para el ejemplo anterior:
| Entrada | Condición verdadera | Fórmula | Resultado |
|---|---|---|---|
x = 0 | 0 < 2 | x + 1 | 1 |
x = 2 | 2 ≥ 2 | x² − 1 | 3 |
x = 3 | 3 ≥ 2 | x² − 1 | 8 |
No promediamos fórmulas ni elegimos la más conveniente. Cada entrada debe pertenecer a una sola rama, salvo que la definición tenga un error de solapamiento.
03 · Dónde mirar
Los puntos de cambio son candidatos
Si cada fórmula es continua en su propia región, los únicos puntos que requieren un análisis adicional son aquellos donde cambia la condición.
En:
las ramas son polinomios, por lo que son continuas dentro de sus regiones. Solo debemos estudiar x = 2.
Si una rama contiene además una restricción propia —por ejemplo, un denominador que puede anularse— esos puntos también deben analizarse. El cambio de fórmula no reemplaza el estudio del dominio.
04 · Condición de unión
Izquierda, derecha y punto deben coincidir
Para una unión en x = a, calculamos:
La función es continua en la unión si:
La fórmula de la rama izquierda determina L₋; la fórmula de la rama derecha determina L₊. El símbolo ≤ o ≥ determina cuál rama aporta V.
05 · Ejemplo continuo
Dos fórmulas que se encuentran
Volvamos al ejemplo en a = 2:
Calculamos:
Los tres resultados coinciden. Aunque la fórmula cambia, la función es continua en x = 2.
06 · Ejemplo con salto
Las ramas llegan a alturas distintas
Consideremos:
Entonces:
Los laterales son finitos pero diferentes. Existe una discontinuidad de salto en x = 2. Como g(2) = 5, el punto lleno pertenece a la rama derecha, pero esa elección no modifica el límite izquierdo.
07 · Elegir un parámetro
Convertir continuidad en una ecuación
Sea:
Para obtener continuidad en x = 2, imponemos:
Con m = 1, ambas ramas se aproximan a 3 y la rama derecha asigna f(2) = 3.
El parámetro no se elige por ensayo visual: se obtiene resolviendo la igualdad entre las tendencias laterales y el valor puntual.
08 · Más de una incógnita
Una unión aporta una ecuación
Consideremos:
La continuidad en x = 1 exige:
Hay dos parámetros y una sola ecuación, por lo que existen infinitas soluciones: b = 1 − m.
Algunos ejemplos válidos son (m, b) = (0, 1), (1, 0) y (2, −1). Una condición de continuidad no siempre determina cada parámetro de manera única.
09 · Varias piezas
Analizar cada frontera por separado
Una función con tres reglas puede tener dos puntos de unión:
En x = 0:
En x = 2:
La función es continua en la primera unión, pero presenta un salto en la segunda. Aprobar una frontera no dice nada sobre las demás.
10 · Cobertura sin ambigüedad
Las condiciones deben cubrir el dominio correctamente
Una definición por partes bien construida debe evitar:
- huecos lógicos: ninguna rama acepta cierta entrada;
- solapamientos: dos ramas aceptan la misma entrada y devuelven resultados diferentes;
- fronteras incorrectas: se usa
<en ambos lados y el punto queda sin definir; - orden dependiente: en código, una condición amplia captura entradas antes que una específica.
Una partición habitual usa x < a y x ≥ a, o bien x ≤ a y x > a. Así el punto pertenece exactamente a una rama.
11 · Diseño computacional
El orden de las condiciones importa
La traducción directa a JavaScript utiliza condicionales:
Para muchas piezas, conviene ordenar los puntos de corte y evaluar desde la condición más restrictiva hacia las siguientes.
El operador === puede utilizarse cuando el programa recibe exactamente el valor de unión definido por el modelo. No conviene detectar cercanía numérica con x === a; para eso se usa una tolerancia.
También es útil almacenar cada pieza como datos: condición, fórmula, extremo incluido y etiqueta. De esta manera el gráfico y la evaluación comparten una única definición.
12 · Exploración interactiva
Laboratorio: hacer coincidir las ramas
Elegí un modelo y modificá el parámetro. El laboratorio calcula los dos límites laterales, el valor puntual y el diagnóstico en la unión.
Ajustar el punto de unión
f(x) = x + 1 si x ≠ 1; f(1) = c
Los tres valores coinciden cuando c = 2.
La línea punteada marca la unión. Los círculos vacíos representan tendencias laterales y el punto lleno representa el valor asignado.
Preguntas para explorar
- ¿Qué único valor de
chace continuo el primer modelo? - ¿Qué ecuación aparece al ajustar el coeficiente
m? - ¿Por qué el modelo con dos parámetros admite muchas soluciones?
- ¿Por qué ningún parámetro puntual puede reparar las ramas de salto o infinitas?
13 · Implementación
Traducir una función por partes
function funcionPorPartes(x) {
if (x < 2) {
return x + 1;
}
return x ** 2 - 1;
}
console.log([-1, 2, 3].map(x => ({ x, y: funcionPorPartes(x) })));Comprobar las tres posiciones
function probarFrontera(funcion, a, h = 1e-6) {
return {
izquierda: funcion(a - h),
punto: funcion(a),
derecha: funcion(a + h)
};
}
console.log(probarFrontera(funcionPorPartes, 2));Resolver un parámetro lineal
// m*a + b debe coincidir con el valor objetivo.
function coeficienteParaUnir(a, b, objetivo) {
if (a === 0) return null;
return (objetivo - b) / a;
}
const m = coeficienteParaUnir(2, 1, 3);
console.log({ m, verificacion: 2 * m + 1 });La prueba numérica ayuda a detectar errores de implementación, pero la continuidad se justifica con los límites laterales exactos.
14 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Toda función por partes es discontinua»
Puede ser continua si las fórmulas se encuentran y el valor puntual coincide en cada unión.
«En la unión uso la misma fórmula para los dos límites laterales»
Cada lado se calcula con la rama que rige las entradas de ese lado.
«El símbolo ≤ determina el límite de ambos lados»
Solo determina el valor puntual. Los límites dependen de las entradas cercanas de cada región.
«Si los laterales coinciden, ya hay continuidad»
También debe existir el valor puntual y ser igual al límite común.
«Una ecuación siempre determina todos los parámetros»
Con varias incógnitas puede haber infinitas soluciones o hacer falta información adicional.
«Probar solamente f(a) valida el condicional»
También deben probarse entradas inmediatamente menores y mayores para verificar la selección de ramas.
15 · Práctica guiada
Ejercicios de comprensión
Ejercicio 1: comprobar una unión
Analizá en x = 1 la función x² si x < 1 y 2x − 1 si x ≥ 1.
Ver solución
El límite izquierdo vale 1, el derecho vale 1 y el valor puntual es 1. La función es continua.
Ejercicio 2: detectar un salto
Analizá en x = 0 la función x + 2 si x < 0 y x − 1 si x ≥ 0.
Ver solución
El límite izquierdo vale 2 y el derecho −1. Hay una discontinuidad de salto.
Ejercicio 3: hallar un valor puntual
Sea f(x) = (x² − 9)/(x − 3) si x ≠ 3 y f(3) = c. Hallá c.
Ver solución
Para x ≠ 3, la expresión vale x + 3. El límite en 3 es 6, por lo que c = 6.
Ejercicio 4: hallar un coeficiente
Sea f(x) = kx + 2 si x < 1 y x² + 4 si x ≥ 1. Hallá k.
Ver solución
La continuidad exige k + 2 = 5. Por tanto, k = 3.
Ejercicio 5: dos parámetros
Para x + a si x < 2 y bx − 1 si x ≥ 2, encontrá la relación entre a y b.
Ver solución
Debe cumplirse 2 + a = 2b − 1, de donde a = 2b − 3. Hay infinitos pares que satisfacen la continuidad.
Ejercicio 6: pensar como programador
Encontrá el error lógico en esta traducción:
function f(x) {
if (x <= 2) return x + 1;
if (x >= 2) return x ** 2 - 1;
}
console.log(f(2));Ver solución
Las condiciones se solapan en x = 2. Por el orden del código se ejecuta la primera rama y la segunda nunca participa allí. Conviene usar x < 2 y un else, o definir explícitamente cuál rama incluye la frontera.
16 · Síntesis
Ideas para recordar
- Una función por partes elige la fórmula según la región de la entrada.
- Los puntos donde cambia la fórmula son candidatos principales para revisar continuidad.
- En una unión deben coincidir límite izquierdo, límite derecho y valor puntual.
- Los símbolos
<,≤,>y≥determinan qué rama contiene la frontera. - La continuidad puede convertirse en una ecuación para hallar parámetros.
- Una unión aporta una condición; varias incógnitas pueden dejar infinitas soluciones.
- Cada punto de unión se analiza de forma independiente.
- En código deben probarse entradas a ambos lados y exactamente en la frontera.
En el próximo tema estudiaremos las propiedades y teoremas de continuidad que permiten obtener conclusiones globales.