Perfiles de velocidad

01 · Punto de partida

De la posición a la velocidad

En el tema 16 suavizamos la posición de un servo: la referencia avanzaba con una velocidad máxima o con una forma cúbica. Ahora cambiamos el punto de vista y planificamos directamente la velocidad de un actuador que recorre una distancia: las ruedas de un robot móvil, un eje con motor paso a paso o un carro lineal.

La variable que se limita es la aceleración. Un perfil de velocidad es una función v(t) cuya pendiente nunca supera un valor a elegido y cuyo área bajo la curva es la distancia que queremos recorrer.

Seguimos en lazo abierto: el perfil es una orden bien formada, no una garantía de que el robot la cumpla. El tema 18 incorpora encoders para medir y corregir.

02 · El problema

Por qué limitar la aceleración

Pedir una velocidad de golpe equivale, en el instante inicial, a una aceleración enorme. Según el actuador, eso se manifiesta de maneras distintas:

Frenar de golpe es tan problemático como arrancar: la inercia del robot y de su carga no desaparece al cortar la orden. Un perfil responsable planifica los dos extremos.

Los valores concretos de aceleración admisible no salen de una fórmula universal: dependen de la masa, la adherencia, el torque disponible y la mecánica. Por eso este tema da el método y los cálculos, y deja los números para medir en el robot.

03 · Tres fases

El perfil trapezoidal

El perfil trapezoidal acelera con aceleración constante a hasta la velocidad máxima vmáx, mantiene esa velocidad y frena con la misma magnitud de aceleración. El gráfico de velocidad contra tiempo tiene forma de trapecio.

Con distancia D, velocidad máxima v y aceleración a, las fases del perfil simétrico son:

La distancia de aceleración sale del área de un triángulo: ½ · v · ta = v²/(2a). Un ejemplo: D = 100 cm, v = 40 cm/s y a = 50 cm/s². Aceleración: 0,8 s y 16 cm. Crucero: (100 − 32)/40 = 1,7 s. Total: 3,3 s, que coincide con 100/40 + 40/50 = 3,3 s.

El segundo término, v/a, es el costo en tiempo de arrancar y frenar con suavidad. Mientras el crucero domina, subir a mejora poco el tiempo total.

04 · Distancias cortas

Cuando no alcanza la velocidad máxima

Si la distancia es menor que v²/a, no hay espacio para acelerar hasta vmáx y frenar. El crucero desaparece: el perfil sube hasta un pico y baja enseguida. Es el perfil triangular.

Con los mismos límites del ejemplo anterior (40 cm/s y 50 cm/s²), v²/a = 32 cm. Para D = 20 cm el pico es √(50·20) ≈ 31,6 cm/s y la duración 2·√(20/50) ≈ 1,26 s. Nunca se llega a 40 cm/s.

Esta rama debe estar en el código: un cálculo que siempre supone crucero produciría una duración de crucero negativa cuando D < v²/a. El diagnóstico más simple es comparar D con v²/a antes de seguir.

La asimetría (aceleración de arranque distinta de la de frenado) y el caso de arrancar con velocidad inicial no nula siguen la misma lógica, con dos aceleraciones distintas. Conviene empezar con el caso simétrico y reposo a reposo.

05 · De dónde sale el número

Límites físicos: adherencia y torque

La aceleración elegida debe caber dentro de lo que el sistema puede transmitir al suelo o a la carga. Hay tres cotas habituales:

• Adherencia. La fuerza de tracción máxima es μ · N. En suelo horizontal, con todo el peso apoyado sobre ruedas tractoras, amáx ≈ μ · g. Con μ = 0,5 son unos 4,9 m/s². Con tracción en solo una parte de las ruedas, o con el peso trasladándose al frenar o acelerar, el valor real es menor.
• Torque del actuador. El motor debe entregar la fuerza m · a más la que pidan fricción y pendiente, a la velocidad en que se trabaja. La curva torque–velocidad (tema 14 para paso a paso) suele empeorar al subir la velocidad.
• Estabilidad de la carga. Un objeto alto o poco sujeto puede deslizar o volcar antes de que las ruedas patinen. Depende de su geometría y de su apoyo.

La menor de esas cotas manda, y se la reduce con un margen de seguridad. El coeficiente μ varía mucho con el suelo, el estado de las ruedas y la humedad; tomalo de una medición en tu superficie.

Y recordá que la aceleración efectiva no es la planificada si el motor se queda corto: el perfil dice lo que se pide, no lo que ocurre.

06 · Pararse a tiempo

Distancia de frenado

Frenar con desaceleración constante a desde la velocidad v consume la distancia v²/(2a) y el tiempo v/a. La distancia crece con el cuadrado de la velocidad: duplicar la velocidad cuadruplica la distancia de frenado.

En un sistema real hay además una latencia: tiempo desde que se detecta una condición hasta que el actuador empieza a frenar (lectura del sensor, ciclo del programa, driver). Durante ese lapso el robot sigue a velocidad v:

Con v = 1 m/s, a = 2 m/s² y 100 ms de latencia, resultan 0,1 + 0,25 = 0,35 m. Si el obstáculo se detecta a 30 cm, no se frena a tiempo con esos parámetros: hay que bajar la velocidad, aumentar la capacidad de frenado o detectar antes.

Esta cuenta vale como criterio de diseño de la velocidad máxima: la velocidad a la que puede ir el robot depende de a qué distancia detecta lo que debe esquivar. Frenar no es gratis ni instantáneo, y una detención de emergencia que usa el mismo perfil tiene la misma distancia.

07 · Del cálculo al programa

Generar el perfil en tiempo discreto

Podemos calcular todo por adelantado con las fórmulas de arriba o generar la velocidad paso a paso. La segunda forma es más flexible: permite cambiar el destino a mitad de movimiento o detenerse a pedido. En cada actualización, con período Δt, se calcula la velocidad como el mínimo de tres cotas:

• vk + a·Δt limita la aceleración.
• vmáx limita la velocidad.
• √(2·a·restante) es la velocidad máxima desde la que todavía se puede frenar a tiempo en lo que falta.

Tercera cota: es lo que inicia el frenado en el momento correcto sin calcular tiempos. Cuando restante se acerca a cero, la velocidad se acerca a cero. Eso trae un detalle numérico: la velocidad nunca llega exactamente a cero, así que se fija una velocidad mínima positiva que se mantiene hasta completar la distancia (en un paso a paso, coincide con una velocidad de arranque tolerable).

Este esquema produce los dos perfiles automáticamente: si la distancia es corta, la tercera cota actúa antes de llegar a vmáx y resulta un triángulo. Además, para una parada a pedido basta reducir restante al valor v²/(2a): el robot frena con la aceleración planificada, no en seco.

Como en el tema 16, el tiempo se mide con micros() o millis() y el Δt se calcula con el reloj, no se supone. La integración con paso discreto introduce un pequeño error de tiempo y de distancia, que conviene verificar (más adelante, en Python).

08 · Código para la placa

Rampa de pasos en Arduino

Aplicamos el generador a un motor paso a paso con driver STEP/DIR, como en el tema 14. Supuestos que debés verificar en tu montaje: un UNO R3, STEP en D2 y DIR en D3, 1600 pasos por vuelta (200 pasos con microstepping 1/8), un driver cuyo pulso mínimo sea compatible con 4 µs y una alimentación de motor adecuada al modelo. El motor se prueba sin carga.

Comandos por el monitor serie: F y B mueven una vuelta completa (1600 pasos) en cada sentido; S frena con la aceleración planificada. La velocidad máxima es de 2000 pasos/s (75 RPM) y la aceleración de 4000 pasos/s².

const byte PIN_STEP = 2, PIN_DIR = 3;
const float V_MAX = 2000.0;      // pasos/s
const float V_MIN = 100.0;       // velocidad de arranque y de llegada
const float ACEL = 4000.0;       // pasos/s²
const long PASOS_VUELTA = 1600;
const unsigned long PERIODO_V_US = 1000;

long restantes = 0;
float v = 0;
bool activo = false;
unsigned long ultimoPaso = 0, ultimaV = 0;

void iniciar(bool adelante) {
  digitalWrite(PIN_DIR, adelante ? HIGH : LOW);
  delayMicroseconds(10);
  restantes = PASOS_VUELTA;
  v = V_MIN;
  activo = true;
  ultimaV = ultimoPaso = micros();
}

void setup() {
  digitalWrite(PIN_STEP, LOW);
  pinMode(PIN_STEP, OUTPUT);
  pinMode(PIN_DIR, OUTPUT);
  Serial.begin(115200);
  Serial.println("F/B: una vuelta con rampa; S: frenar con rampa");
}

void loop() {
  if (Serial.available() > 0) {
    const char cmd = Serial.read();
    if (!activo && (cmd == 'F' || cmd == 'B')) {
      iniciar(cmd == 'F');
    } else if (activo && cmd == 'S') {
      const long freno = (long)(v * v / (2.0 * ACEL)) + 1;
      if (freno < restantes) restantes = freno;
    }
  }
  if (!activo) return;

  const unsigned long ahora = micros();
  if (ahora - ultimaV >= PERIODO_V_US) {
    const float dt = (ahora - ultimaV) * 1e-6;
    ultimaV = ahora;
    float nueva = v + ACEL * dt;
    if (nueva > V_MAX) nueva = V_MAX;
    const float vFreno = sqrt(2.0 * ACEL * restantes);
    if (nueva > vFreno) nueva = vFreno;
    v = (nueva < V_MIN) ? V_MIN : nueva;
  }
  if (ahora - ultimoPaso >= (unsigned long)(1000000.0 / v)) {
    ultimoPaso = ahora;
    digitalWrite(PIN_STEP, HIGH);
    delayMicroseconds(4);
    digitalWrite(PIN_STEP, LOW);
    if (--restantes <= 0) {
      activo = false;
      Serial.println("Ordenes de paso completadas; posicion real no confirmada");
    }
  }
}

Con esos números, una vuelta tiene v²/(2a) = 500 pasos de aceleración, 500 de frenado y 600 de crucero. El tiempo estimado es 1600/2000 + 2000/4000 = 1,3 s. La aceleración tarda 0,5 s.

Las condiciones de arranque, la velocidad de partida y la aceleración que tolera el motor dependen del modelo, de la tensión, de la corriente configurada y de la carga. Los valores del ejemplo son un punto de partida para ensayar, no una garantía. Si el motor vibra, zumba sin girar o pierde pasos, reducí ACEL y V_MAX.

Dos limitaciones deliberadas: la temporización usa un solo hilo y funciona a velocidades de pocos kHz (a frecuencias mayores hacen falta temporizadores por hardware o bibliotecas especializadas), y el programa cuenta pasos ordenados, no pasos realizados. El mensaje final lo dice así: no se confirma la posición real, igual que en el tema 14.

La parada con S mantiene la deceleración planificada; no es una parada de emergencia. Para una emergencia real hace falta una vía independiente, por ejemplo cortar la habilitación del driver, aceptando que el rotor puede quedar libre.

09 · Para seguir

Más allá: la curva S

En el trapecio la aceleración salta de 0 a a al arrancar y de a a 0 al llegar al crucero. Ese salto se llama tirón o jerk (derivada de la aceleración) y puede excitar vibraciones y esfuerzos en mecanismos flexibles o con holgura.

La curva S limita también el jerk: la aceleración sube y baja gradualmente, con fases adicionales a ambos lados de cada tramo de aceleración constante. A cambio, el cálculo tiene más casos y el movimiento tarda algo más para la misma aceleración máxima.

No hace falta implementar una curva S en este curso. Alcanza con saber que existe y cuándo el trapecio se queda corto, para no atribuir a la electrónica una vibración que nace del perfil.

10 · Exploración interactiva

Laboratorios: perfil trapezoidal y distancia de frenado

Con los valores iniciales hay trapecio: 0,8 s de aceleración, 1,7 s de crucero, 0,8 s de frenado y 3,3 s en total. Bajá la distancia a 20 cm: el crucero desaparece y el pico cae a unos 31,6 cm/s. Duplicá la aceleración con D = 100 cm: el total baja de 3,3 a 2,9 s, no a la mitad, porque domina el crucero.

Con los valores iniciales, el límite es 4,9 m/s²; el frenado de 2 m/s² usa un 41 % de ese límite. La parada requiere 0,1 + 0,25 = 0,35 m y con un obstáculo a 50 cm quedan 15 cm de margen. Subí la velocidad a 1,5 m/s: la distancia de parada pasa a unos 0,71 m y ya no alcanza.

El modelo no considera traslado de peso, pendiente, desgaste del suelo ni tiempos de respuesta del driver. Es una estimación para dimensionar, no una verificación de seguridad.

11 · Código ejecutable

Verificar el perfil en Python

Comparamos la solución analítica con el generador discreto v = mín(v + a·Δt, vmáx, √(2·a·restante)) para dos distancias, con las mismas cifras de la sección 3 y 4. Para que la integración termine se mantiene una velocidad mínima de 0,5 cm/s.

import math

def analitico(D, vmax, a):
    if D >= vmax**2 / a:
        ta = vmax / a
        tc = (D - vmax**2 / a) / vmax
        return vmax, ta, tc, 2 * ta + tc
    pico = math.sqrt(a * D)
    ta = pico / a
    return pico, ta, 0.0, 2 * ta

def simular(D, vmax, a, dt, vmin=0.5):
    x = v = t = pico = 0.0
    while x < D:
        v_freno = math.sqrt(2 * a * (D - x))
        v = max(min(v + a * dt, vmax, v_freno), vmin)
        x += v * dt
        t += dt
        pico = max(pico, v)
    return pico, t

for D in (100, 20):
    p, ta, tc, T = analitico(D, 40, 50)
    ps, ts = simular(D, 40, 50, 0.01)
    print(f"D={D:3} cm  teoria: pico={p:5.1f} cm/s T={T:5.2f} s (ta={ta:.2f}, tc={tc:.2f})")
    print(f"          simulado: pico={ps:5.1f} cm/s T={ts:5.2f} s")

Para 100 cm: pico de 40,0 cm/s y 3,30 s en teoría, 3,27 s simulados. Para 20 cm: pico de 31,6 cm/s teórico y 31,5 simulado; 1,26 s contra 1,24 s. El generador reproduce ambos perfiles sin separar casos, con una diferencia pequeña de tiempo.

Esa diferencia sale de la integración discreta y de la velocidad mínima. Probá dt = 0.001 y comprobá cómo se reduce; probá también vmin = 5 para ver que una velocidad de llegada alta acorta el tiempo pero termina más «a golpe».

12 · Método y diagnóstico

Pruebas y diagnóstico

1. Calculá a mano las fases y la duración esperada antes de mover nada.
2. Probá con aceleración y velocidad bajas, sin carga y con espacio libre.
3. Cronometrá el movimiento real (o registrá millis()) y compará con la duración calculada.
4. Subí la aceleración por etapas; anotá en cuál aparece patinaje, vibración, zumbido o pérdida de pasos.
5. Probá distancias cortas para comprobar que se comporta como triángulo y no genera un crucero negativo.
6. Probá la parada a pedido desde velocidad de crucero y medí la distancia real de frenado.
7. Repetí con la carga real y con el estado de batería más bajo previsto.

13 · Práctica guiada

Predecí antes de comprobar

1. Trapecio completo

Un robot debe recorrer 100 cm con vmáx = 40 cm/s y a = 50 cm/s². Calculá cada fase y el total.

2. Distancia corta

Con los mismos límites, ¿qué pasa si el recorrido es de 20 cm?

3. Paso a paso

Un eje usa 1600 pasos/vuelta, vmáx = 2000 pasos/s y a = 4000 pasos/s². ¿Cuánto dura un movimiento de 800 pasos? ¿Y de 1600?

4. Límite de adherencia

La rueda sobre un piso con μ = 0,4 y tracción total. ¿Cuál es el límite teórico de aceleración? ¿Qué valor elegirías con un margen del 60 %?

5. Parada ante un obstáculo

Un robot va a 1,2 m/s, frena con 2 m/s² y tiene 80 ms de latencia. ¿A qué distancia mínima debe detectar un obstáculo?

6. Cambiar la aceleración

Para D = 100 cm y vmáx = 40 cm/s, ¿cuánto dura el movimiento con a = 100 cm/s²? ¿Por qué no es la mitad de 3,3 s?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el tema 18?

Antes de avanzar, elegí una velocidad y una aceleración para tu robot, calculá las fases para dos distancias (una larga y una corta) y estimá la distancia de parada con tu latencia. Pensá cómo te darías cuenta de que el robot no está cumpliendo el perfil.

En el próximo tema estudiamos control de velocidad y posición con encoders: medir, comparar con la referencia y corregir el motor.