Respuesta de un sistema

01 · Punto de partida

Entre la orden y el valor final

En el tema 40 comparamos el valor que el sistema alcanza al final. Pero un motor que llega a 100 rpm en 0,2 s y otro que lo hace en 8 s son sistemas distintos, aunque ambos terminen en 100. Y uno que llega a 160 antes de volver a 100 puede ser inaceptable si lleva una bandeja de vasos. El comportamiento dinámico importa tanto como el valor final.

Este tema da el vocabulario y los números para describirlo, usando dos sistemas que ya conocemos: un modelo genérico de segundo orden y el motor con control proporcional de posición del tema anterior.

Es el tema que prepara el diseño de controladores: el todo o nada y el proporcional (tema 42), el PID (43) y su ajuste (44) se evalúan con estos mismos números.

02 · La prueba estándar

La respuesta al escalón

La forma estándar de caracterizar un sistema es cambiar la referencia de golpe, de 0 a 1, y registrar la salida. Es la prueba más exigente posible (un salto instantáneo) y la más fácil de interpretar. La curva típica de un sistema que oscila un poco antes de asentarse se mide así:

Cuatro medidas resumen la curva, y una quinta la completa:

• Tiempo de subida tr: lo que tarda en pasar del 10 % al 90 % del valor final. Mide qué tan rápido reacciona.
• Sobreimpulso Mp: cuánto pasa del valor final en el pico, como porcentaje. Mide qué tanto se pasa.
• Tiempo de pico tp: cuándo ocurre ese máximo.
• Tiempo de asentamiento ts: desde cuándo la salida queda para siempre dentro de una banda (aquí, 2 %) alrededor del valor final. Mide cuánto hay que esperar para que el sistema «esté listo».
• Error en régimen permanente e_ss: la diferencia entre la referencia y el valor al que se asienta, si existe.

Al medir, es habitual tomar la banda del 2 % o del 5 %; lo importante es nombrar la que se usó. El 10 % y el 90 % del tiempo de subida evitan el comienzo y el final de la curva, donde el valor es difícil de ubicar.

03 · Qué tan rápido

Tiempo de subida

Para un sistema de primer orden con constante de tiempo τ (como el motor del tema 40), la salida es 1 − e^(−t/τ) y el tiempo de subida vale aproximadamente 2,2 · τ. En el motor, con τ = 0,5 s, son 1,1 s; con un lazo cerrado que reduce la constante de tiempo a 0,119 s (Kp = 2), serían unos 0,26 s. Realimentar acelera, como vimos.

Para uno de segundo orden, el tiempo de subida depende de la frecuencia natural ωn y del amortiguamiento. Con ωn = 4 rad/s, la simulación da estos tiempos de subida:

0,30 s con ζ = 0,2; 0,37 s con 0,4; 0,53 s con 0,7; 0,84 s con 1,0; y 2,06 s con 2,0. Hay dos lecciones. Primero, a mayor ωn, el sistema es más rápido (tr es del orden de 1/ωn). Segundo, un amortiguamiento bajo da una subida más rápida, y esa velocidad se paga con oscilación. Lo veremos enseguida.

En la práctica, el tiempo de subida está limitado por la física del actuador y no solo por el controlador: ningún motor responde más rápido de lo que su par y su inercia permiten. Un controlador que pide más velocidad de la posible se encuentra con la saturación del tema 40.

04 · Cuánto se pasa

Sobreimpulso y amortiguamiento

El modelo de segundo orden más usado es y'' + 2 · ζ · ωn · y' + ωn² · y = ωn² · r. Tiene dos parámetros:

• La frecuencia natural ωn (en rad/s): a qué velocidad oscilaría el sistema si no hubiera rozamiento. Fija la escala de tiempos.
• El factor de amortiguamiento ζ (zeta, sin unidades): cuánto rozamiento tiene el sistema respecto de lo que haría falta para que no oscile. Fija la forma de la curva.

Con ζ < 1 el sistema es subamortiguado y sobrepasa. Con ζ = 1 es de amortiguamiento crítico: el más rápido que no sobrepasa. Con ζ > 1 es sobreamortiguado: no sobrepasa, pero es más lento. Para ζ < 1 hay fórmulas cerradas:

Mp = 100 · e^(−π·ζ / √(1−ζ²)) %   ·   tp = π / (ωn · √(1−ζ²))   ·   ts ≈ 4 / (ζ · ωn)

La primera dice que el sobreimpulso depende solo de ζ, no de ωn. Un ζ = 0,7 sobrepasa un 4,6 % tanto con ωn = 1 como con ωn = 100; lo que cambia es la escala de tiempo. Por eso 0,7 es un valor «clásico»: buena velocidad con poca sobreoscilación.

La fórmula de ts es una regla práctica, buena para sistemas subamortiguados. Con ζ ≥ 1 no hay oscilación y el asentamiento lo manda el polo lento, por lo que la regla no sirve. Observá algo contraintuitivo: el sistema con ζ = 0,7 se asienta casi igual de rápido que el crítico (1,49 s contra 1,46 s), con una subida mucho más veloz (0,53 s contra 0,84 s), a cambio de un 4,6 % de sobreimpulso; y ambos están muy por delante del sobreamortiguado (3,72 s). Un poco de oscilación puede ser un precio razonable.

¿Y cómo se relaciona con nuestro motor? En el control proporcional de posición del tema 40 (τ · θ'' + θ' = K · u, con u = Kp · (r − θ)) se obtiene un sistema de segundo orden con ωn = √(K · Kp / τ) y ζ = 1 / (2 · √(τ · K · Kp)). Cuanto más ganancia, menos amortiguamiento:

Esta tabla es el centro del tema: subir la ganancia hace al sistema más rápido y más oscilante a la vez. En el tema 40 vimos que subir Kp reduce el error y aumenta el ruido; ahora aparece un tercer precio, el sobreimpulso.

05 · Dónde termina

Asentamiento y error en régimen

El error en régimen permanente es lo que queda cuando todo se calmó. Depende de la planta, del controlador y de la entrada. Tres casos que ya viste:

• Planta de primer orden con control proporcional (el motor de velocidad del tema 40). Para un escalón queda un error: con la planta envejecida y Kp = 2, 4,76 rpm antes de la carga y 9,52 con ella.
• Posición con un motor (el motor integra la velocidad: es un integrador). Ante un escalón de posición el error en régimen es cero: la simulación llega a r con un error del orden de 10⁻⁵. El integrador del propio motor garantiza que no se detiene mientras quede error.
• Esa misma posición ante una rampa (la referencia crece a velocidad constante). El motor sigue con un retraso fijo e_ss = rampa / (K · Kp). Con una rampa de 0,5 unidades/s, la simulación da 0,2495, 0,1245 y 0,0495 para Kp = 1, 2 y 5, frente a los 0,25, 0,125 y 0,05 de la fórmula (la diferencia es el último resto del transitorio).

La lección es doble. Un integrador en el lazo elimina el error ante una referencia constante; un doble integrador, ante una rampa. Y en un lazo real la perturbación entra en algún punto: un integrador dentro del controlador es lo que elimina el error producido por la carga, que es la acción integral del PID (tema 43).

El tiempo de asentamiento y el error en régimen se miden juntos: no tiene sentido hablar de «asentado» sin decir dónde. Hay que fijar la banda y el instante en que se aplica la perturbación; en el tema 40, el error con carga se medía a los 10 s, mucho después del asentamiento.

06 · Cuando todo se descontrola

Estabilidad

Un sistema es estable si, ante una entrada acotada, la salida permanece acotada, y en particular si vuelve al equilibrio cuando se lo perturba. Un lazo cerrado puede volverse inestable aunque la planta sea estable por sí sola: al realimentar, una corrección que llega tarde se suma a la oscilación en lugar de restarla, y cada vuelta es mayor que la anterior.

En el modelo de segundo orden sin retardo, el control proporcional del motor no se vuelve inestable con ninguna ganancia: ζ se acerca a cero pero nunca lo alcanza (Kp = 10 da ζ = 0,158). Las causas reales de la inestabilidad son los retardos y las dinámicas no modeladas: el tiempo de cálculo, la comunicación, el muestreo, el filtro del sensor, la elasticidad de una transmisión, la demora de un calentador. Agreguemos al motor un retardo entre el cálculo y la acción:

La tabla enseña dos cosas. El retardo destruye el amortiguamiento: con Kp = 2 el sobreimpulso pasa de 30,5 % sin retardo a 78,5 % con 200 ms. Y hay un límite: cada retardo admite una ganancia máxima. Con 100 ms, Kp = 10 es inestable y Kp = 5 apenas sobrevive; con 200 ms ya lo es Kp = 5. Un sistema con retardo se «ajusta» bajando la ganancia, o se acerca a un diseño más sofisticado, y nunca se resuelve solo con empeñarse en subirla.

La estabilidad se juzga por el margen. Un sistema «estable» que oscila 20 veces antes de asentarse está en el borde: cualquier cambio de la carga, la temperatura o la batería lo empuja del otro lado. Se diseña con margen: ζ de 0,5 a 0,8, y ganancias bien por debajo de la crítica. Para la clasificación del laboratorio se mira la amplitud del error en los últimos 2 s y se la compara con la de los 2 s anteriores: si crece, inestable; si decrece pero queda, oscila y se amortigua; si es menor que 0,01, estable.

07 · Qué pedirle al sistema

Los compromisos del diseño

Las especificaciones de una respuesta suelen ser números concretos: «sobreimpulso menor al 10 %», «asentamiento en menos de 2 s», «error en régimen menor a 1 rpm». Tienen compromisos entre sí:

No existe una ganancia que gane en todo. El diseño consiste en encontrar el mejor equilibrio para la aplicación: un brazo que sostiene vasos tolera poco sobreimpulso; un robot de carreras acepta más. Los temas siguientes agregan herramientas (la acción derivativa que amortigua, la integral que elimina el error, el filtrado) para mejorar el equilibrio, pero no lo eliminan.

Una práctica sensata: antes de ajustar nada, escribir las especificaciones en la forma de la tabla anterior y medirlas siempre con la misma prueba, el mismo escalón y la misma banda. Si no, es imposible saber si un cambio mejoró algo.

08 · Código para la placa

Medir la respuesta en Arduino

El sketch simula el sistema de segundo orden con integración de Euler (con un paso fijo de 1 ms) y mide en línea los tiempos de 10 % y 90 %, el pico y el último instante fuera de la banda del 2 %. Con un sistema real, y vendría del sensor y el escalón sería un cambio de la referencia, registrado en una tabla o enviado por el puerto serie.

// Mide la respuesta al escalón de un sistema de segundo orden: tiempo de subida, sobreimpulso, tiempo de pico, asentamiento.
// y'' + 2*z*wn*y' + wn^2*y = wn^2 * r   (r = 1). Integración de Euler semi-implícita con paso fijo.
const float DT = 0.001, T_FIN = 10.0, FINAL = 1.0;

void medir(float wn, float z) {
  float y = 0, v = 0, pico = 0, tPico = 0, t10 = -1, t90 = -1, tUlt = 0;
  for (long k = 0; k < (long)(T_FIN / DT + 0.5); k++) {
    float t = k * DT;
    v += DT * (wn * wn * (FINAL - y) - 2.0 * z * wn * v);
    y += DT * v;
    if (t10 < 0 && y >= 0.1 * FINAL) t10 = t;
    if (t90 < 0 && y >= 0.9 * FINAL) t90 = t;
    if (y > pico) { pico = y; tPico = t; }
    if (fabs(y - FINAL) > 0.02 * FINAL) tUlt = t;          // último instante fuera de la banda del 2 %
  }
  float mp = max(0.0f, (pico - FINAL) / FINAL * 100.0f);
  Serial.print("z="); Serial.print(z, 2);
  Serial.print("  tr="); Serial.print(t90 - t10, 2); Serial.print(" s");
  Serial.print("  Mp="); Serial.print(mp, 2); Serial.print(" %");
  if (mp > 0.01) { Serial.print("  tp="); Serial.print(tPico, 2); Serial.print(" s"); }
  Serial.print("  ts="); Serial.print(tUlt + DT, 2); Serial.println(" s");
}

void setup() {
  Serial.begin(115200);
  Serial.println("wn = 4 rad/s");
  const float zs[] = {0.2, 0.4, 0.7, 1.0, 2.0};
  for (byte i = 0; i < 5; i++) medir(4.0, zs[i]);
}

void loop() {}

La salida repite la tabla del texto: para ζ = 0,2, tr de 0,30 s, Mp de 52,6 % y ts de 4,90 s; para ζ = 0,4, 0,37 s, 25,3 % y 2,10 s; y para ζ = 0,7, 0,53 s, 4,6 % y 1,49 s. Con ζ = 1 y 2 no se muestra tp porque no hay pico. Las diferencias de centésimas con Python, si aparecen, vienen de la aritmética de punto flotante de 32 bits de la placa.

Para medir un sistema real, la técnica es la misma: aplicar el escalón, muestrear la salida a intervalos regulares (tema 37) y recorrer los datos con las mismas definiciones. Medir a mano sobre un gráfico del puerto serie también funciona para una primera estimación.

09 · Exploración interactiva

Laboratorios de respuesta

Probá: con ζ = 0,1 la curva oscila durante todo el gráfico; con 0,7 casi no se pasa; con 1 llega sin pasarse; con 2,5 es lenta. Mantené ζ y cambiá ωn: la forma no cambia, solo la escala de tiempo, y el sobreimpulso permanece igual. Con ωn = 4 y ζ = 0,4 se obtienen los valores de la tabla.

Con retardo cero, ninguna ganancia vuelve inestable al motor; con 100 ms, Kp = 10 sí. Con Kp = 1 se necesita más de 200 ms para que se acerque al borde. Cuanta más ganancia tenga el lazo, menos retardo tolera.

10 · Código ejecutable

Medir la respuesta en Python

El mismo cálculo, con las funciones de medida, la comparación con las fórmulas, el motor con retardo y el error ante una rampa.

from math import exp, pi, sqrt

DT = 0.001

def escalon(wn, z, t_fin=10.0):
    """Respuesta al escalón unitario de y'' + 2*z*wn*y' + wn^2*y = wn^2*u (ganancia 1)."""
    y, v, serie = 0.0, 0.0, []
    for _ in range(round(t_fin / DT)):
        v += DT * (wn * wn * (1.0 - y) - 2.0 * z * wn * v)
        y += DT * v
        serie.append(y)
    return serie

def metricas(serie, final=1.0):
    n = len(serie)
    t10 = next((k for k, y in enumerate(serie) if y >= 0.1 * final), None)
    t90 = next((k for k, y in enumerate(serie) if y >= 0.9 * final), None)
    pico = max(serie)
    k_pico = serie.index(pico)
    ult = max((k for k, y in enumerate(serie) if abs(y - final) > 0.02 * final), default=-1)
    return {"tr": None if t90 is None else (t90 - t10) * DT,
            "mp": max(0.0, (pico - final) / final * 100.0), "tp": k_pico * DT if pico > final * 1.0001 else None,
            "ts": None if ult >= n - 1 else (ult + 1) * DT, "ess": final - serie[-1]}

def teoria(wn, z):
    if z >= 1.0:
        return {"mp": 0.0, "tp": None, "ts": None}          # sin sobreimpulso: no hay pico ni regla de 4/(z*wn)
    return {"mp": 100.0 * exp(-pi * z / sqrt(1 - z * z)), "tp": pi / (wn * sqrt(1 - z * z)), "ts": 4.0 / (z * wn)}

def servo(kp, retardo=0.0, tau=0.5, k=2.0, t_fin=12.0, rampa=None):
    """Posición de un motor: tau*th'' + th' = k*u; control proporcional u = kp*(r - th), con retardo en la acción."""
    th, w, cola = 0.0, 0.0, [0.0] * round(retardo / DT)
    serie, errores = [], []
    for i in range(round(t_fin / DT)):
        r = 1.0 if rampa is None else rampa * i * DT
        u = kp * (r - th)
        cola.append(u)
        u_apl = cola.pop(0)
        w += DT * (k * u_apl - w) / tau
        th += DT * w
        serie.append(th); errores.append(r - th)
    return serie, errores

if __name__ == "__main__":
    print("Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden (wn = 4 rad/s):")
    print("   z     tr(10-90%)  Mp sim   Mp teoría   tp sim  tp teoría   ts(2%)  ts≈4/(z·wn)")
    for z in (0.2, 0.4, 0.7, 1.0, 2.0):
        m, t = metricas(escalon(4.0, z)), teoria(4.0, z)
        f = lambda v, d=2: "  —  " if v is None else f"{v:.{d}f}"
        print(f"{z:5.2f}  {f(m['tr'])} s    {m['mp']:6.2f}%  {f(t['mp'])}%    {f(m['tp'])}    {f(t['tp'])}      {f(m['ts'])}    {f(t['ts'])}")
    print("\nMotor con control proporcional de posición (tau = 0,5 s, K = 2): z = 1/(2*raiz(tau*K*Kp))")
    print("   Kp    z       wn    Mp sim   Mp teoría   ts(2%)")
    for kp in (0.2, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0):
        wn = sqrt(2.0 * kp / 0.5); z = 1 / (2 * sqrt(0.5 * 2.0 * kp))
        s, _ = servo(kp)
        m = metricas(s)
        print(f"{kp:5.1f}  {z:5.3f}  {wn:5.2f}  {m['mp']:6.2f}%   {teoria(wn, z)['mp']:6.2f}%   {'—' if m['ts'] is None else format(m['ts'], '.2f') + ' s'}")
    print("\nEstabilidad con retardo en el actuador (Kp -> Mp, amplitud del error en los últimos 2 s):")
    for retardo in (0.0, 0.05, 0.1, 0.2):
        fila = []
        for kp in (1.0, 2.0, 5.0, 10.0):
            s, e = servo(kp, retardo)
            amp = max(abs(x) for x in e[-2000:])
            fila.append(f"Kp={kp:4.1f}: Mp {metricas(s)['mp']:6.1f}% amp {amp:8.3f}")
        print(f"retardo {retardo:4.2f} s | " + " | ".join(fila))
    print("\nError ante una rampa de 0,5 unidades/s (error esperado = rampa / (K*Kp)):")
    for kp in (1.0, 2.0, 5.0):
        _, e = servo(kp, rampa=0.5)
        print(f"   Kp={kp:4.1f}: error final {e[-1]:.4f}   esperado {0.5 / (2.0 * kp):.4f}")

La salida repite las tablas del texto: cinco amortiguamientos con ωn = 4 (sobreimpulso simulado y teórico), seis ganancias del motor, la tabla de retardos y el error ante rampa.

Probá cambiar wn a 8 y comprobar que Mp no cambia y los tiempos se reducen a la mitad. También podés buscar a mano el retardo crítico para Kp = 3.

11 · Método y diagnóstico

Pruebas y diagnóstico

1. Definí la prueba: tamaño del escalón, condiciones iniciales, duración y banda de asentamiento.
2. Registrá referencia y salida a un período regular (tema 37) y guardá los datos: no se mide bien «a ojo».
3. Calculá tr, Mp, tp, ts y e_ss siempre con las mismas definiciones.
4. Si hay sobreimpulso, estimá ζ con la relación Mp ↔ ζ y compará con lo esperado.
5. Repetí con escalones de distinto tamaño: si las medidas cambian mucho, el sistema no es lineal (saturación, fricción).
6. Probá con retardos o filtros agregados a propósito para conocer el margen antes de que aparezcan solos.
7. Subí la ganancia de a poco y detenete ante el primer signo de oscilación sostenida.

12 · Práctica guiada

Predecí antes de comprobar

1. Estimar el amortiguamiento

Una respuesta al escalón sobrepasa un 25 %. ¿Qué ζ tiene aproximadamente y cuánto sobrepasaría con un ωn el triple?

2. Tiempo de pico

Para ωn = 4 y ζ = 0,4, ¿cuánto vale tp según la fórmula?

3. El motor con Kp = 1

Calculá ζ y ωn del motor de posición con Kp = 1 (τ = 0,5; K = 2) y estimá el sobreimpulso.

4. Cuánta ganancia para no pasarse

Con ese motor se quiere que no sobrepase. ¿Cuál es el mayor Kp posible?

5. Error ante rampa

El mismo motor debe seguir una rampa de 2 unidades/s con un error no mayor a 0,2. ¿Qué Kp hace falta?

6. Retardo

Se usa Kp = 5 y se mide una demora total de 100 ms entre el cálculo y la acción. ¿Qué esperás, y qué harías?

7. Asentamiento

Un sistema subamortiguado con ζ = 0,5 y ωn = 2 rad/s. ¿Cuánto tarda aproximadamente en asentarse en la banda del 2 %?

13 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el tema 42?

Antes de avanzar, tomá el motor de posición del laboratorio y anotá, para Kp = 2 y Kp = 5, el sobreimpulso, el asentamiento y el comportamiento con 100 ms de retardo. Escribí cuál elegirías para un brazo que lleva una taza.

En el próximo tema aplicamos todo esto a los primeros controladores: el control todo o nada y el proporcional, con sus histéresis, sus oscilaciones y sus errores.