Pruebas de uniformidad

01 · Punto de partida

Del “parece parejo” al “pasa χ²”

El Tema 26 te dejó la alarma (media, varianza). Ahora la primera prueba formal: si partís [0,1) en k intervalos iguales y contás cuántos valores caen en cada uno, un generador uniforme debe llenarlos parejo salvo ruido. Chi-cuadrado convierte “parejo salvo ruido” en una cuenta con veredicto: pasa / se rechaza al 5 %.

Es la prueba más usada del curso y la base de las de frecuencia y series (Temas 29–30): mismo mecanismo, distintas cajas.

• ¿Cómo se calcula χ² desde conteos?
• ¿Cuántos intervalos k convienen para N valores?
• ¿Qué valor separa “ruido normal” de “sesgo”?
• ¿Qué significa rechazar al 5 %?

02 · Definición

El mecanismo en tres pasos

03 · Procedimiento correcto

k, N y nivel sin improvisar

El test solo vale si el diseño es previo: elegir k antes de mirar los datos, con N/k ≥ 5 (ideal ≥ 10), y fijar el nivel α = 5 % de antemano. Con N = 6000 y k = 6, E = 1000: el ruido típico por caja es √1000 ≈ 32, y χ² ≈ 5 en un sano.

Hipótesis H₀

“La secuencia es U(0,1)”. χ² grande la pone en duda; χ² chico no la “prueba”: solo no la rechaza con estos datos.

Nivel 5 %

Aun con generador perfecto, 1 de cada 20 tests rechaza por mala suerte. Un rechazo aislado se repite con otra semilla antes de condenar.

k extremo

k = 2 no ve nada; k = 1000 con N = 2000 deja E = 2 y el test se rompe. Zona sana: k entre 6 y 20 para N en miles.

04 · Ejemplos

Tres veredictos típicos

1. 1
   Dado sano, N = 6000, k = 6.

   χ² ≈ 3–9 < 11,07: pasa. Cada cara ≈ 1000 ± 32.

2. 2
   % con resto, m = 100, k = 6.

   Cuatro caras con 17/100: χ² ≈ 25 > 11,07: rechazo sistemático, no mala suerte.

3. 3
   Juguete m = 16, N = 1600, k = 10.

   Solo 16 valores discretos sobre 10 cajas: χ² gigante. El test detecta resolución, no solo sesgo.

05 · Implementación en Python

χ² a mano, sin librerías

Contamos en k cajas, calculamos χ² y comparamos con la tabla al 5 %. Puro estándar: corre en Pyodide sin instalar nada.

import math
import random

CRIT5 = {5: 11.07, 7: 14.07, 9: 16.92, 19: 30.14}

def chi2_uniforme(us, k=10):
    n = len(us)
    e = n / k
    obs = [0] * k
    for u in us:
        j = min(k - 1, int(u * k))
        obs[j] += 1
    chi = sum((o - e) ** 2 / e for o in obs)
    return chi, obs


rng = random.Random(27)
us = [rng.random() for _ in range(6000)]
chi, obs = chi2_uniforme(us, k=10)
print("obs:", obs)
print("chi2:", round(chi, 2), "critico:", CRIT5[9], "pasa:", chi < CRIT5[9])

χ² de un dígito bajo 16,92: pasa. Las cajas rondan 600 ± 25.

El sesgado no pasa

import random

CRIT5 = {5: 11.07, 7: 14.07, 9: 16.92, 19: 30.14}

def chi2_conteos(obs):
    e = sum(obs) / len(obs)
    return sum((o - e) ** 2 / e for o in obs)


rng = random.Random(27)
N = 6000
xs = [rng.randrange(100) for _ in range(N)]
dados = [(x % 6) for x in xs]
obs = [dados.count(c) for c in range(6)]
print("obs:", obs)
chi = chi2_conteos(obs)
print("chi2:", round(chi, 2), "critico:", CRIT5[5], "pasa:", chi < CRIT5[5])

06 · Exploración

Laboratorio: barras contra la línea

Elegí fuente y k: las barras son los conteos O, la línea es E = N/k. El panel trae χ², crítico al 5 % y veredicto. El “sesgado” es el % con resto del Tema 22.

Barras naranjas sistemáticamente altas delatan sesgo; barras que oscilan parejo alrededor de la línea son ruido honesto.

Preguntas para explorar

1. Con sano y N = 12000, k = 10: ¿χ² crece o se mantiene? ¿Pasa igual?
2. Con sesgado y k = 6: ¿χ² supera 11,07 siempre? ¿Y con k = 10?
3. Con sano, repetí cambiando k entre 6 y 20: ¿algún k “rechaza” por mala suerte?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: dado sano

Test χ² a 6000 tiros de dado con k = 6 al 5 % (crítico 11,07). ¿Pasa?

import random

rng = random.Random(3)
N = 6000
tiros = [rng.randint(1, 6) for _ in range(N)]
obs = [tiros.count(c) for c in range(1, 7)]
e = N / 6
chi = sum((o - e) ** 2 / e for o in obs)
print(obs, round(chi, 2), chi < 11.07)

Ejercicio 2: cazar el % viciado

Repetí el test sobre randrange(100) % 6 con N = 12000. ¿Pasa?

import random

rng = random.Random(3)
N = 12000
xs = [rng.randrange(100) % 6 for _ in range(N)]
obs = [xs.count(c) for c in range(6)]
e = N / 6
chi = sum((o - e) ** 2 / e for o in obs)
print(obs, round(chi, 2), chi < 11.07)

Ejercicio 3: k que rompe el test

Mostrá que k = 500 con N = 2000 invalida el test (E < 5) aunque el generador sea sano.

import random

rng = random.Random(3)
us = [rng.random() for _ in range(2000)]
k = 500
print("E =", len(us) / k)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema atacamos la segunda pata: pruebas de independencia, detectar dependencias ocultas.