Secuencias pseudoaleatorias

01 · Punto de partida

Del número suelto a la secuencia

Hasta ahora hablaste de «números aleatorios» en singular: un dado, un random.random(). Pero un simulador nunca usa uno solo: usa una secuencia ordenada u₀, u₁, u₂, …, donde cada posición alimenta un sorteo, un tiempo de llegada o una decisión.

Y ahí cambia la exigencia: no alcanza con que cada valor «parezca azar» por separado; la sucesión completa debe comportarse como azar: sin ciclos visibles, sin correlación entre vecinos y reproducible desde la semilla. Esa sucesión calculada es la secuencia pseudoaleatoria.

• ¿Qué distingue una secuencia de una simple colección de valores?
• ¿Cómo se genera el siguiente valor solo desde el actual?
• ¿Por qué toda secuencia calculada termina repitiéndose?
• ¿Cómo la explorás con código antes de confiar en ella?

02 · Definición

Recurrencia, estado y salida

Toda secuencia del curso nace del mismo mecanismo, que conviene nombrar con precisión desde ahora:

Dos consecuencias inmediatas: (1) la secuencia es determinista y reproducible; (2) como el estado tiene finitos valores posibles (el módulo m), tarde o temprano un estado se repite y desde ahí todo el ciclo se repite. Ese es el período (Tema 10).

03 · Lectura

Cómo leer una secuencia sin autoengañarte

Una secuencia se lee en orden y en conjunto. Estos tres hábitos te evitan la mayoría de los errores de principiante:

Orden

Los pares consecutivos importan: (u₀,u₁), (u₁,u₂), … revelan correlaciones que los valores sueltos esconden. Los tests de series (Tema 30) miran justamente eso.

Ventana

Mirá tramos cortos y largos: un generador puede verse bien en 100 valores y colapsar en 10 000 por período corto (Tema 33).

Repetición

Buscá el primer estado repetido: desde ahí la secuencia es un loop. Con módulo chico lo ves a ojo; con módulo grande necesitás código.

Normalización

No compares enteros x con uniformes u: dividí por m antes de graficar o contar frecuencias (Temas 19–20).

04 · Ejemplos

Tres secuencias para calibrar el ojo

Antes del laboratorio, tres casos mentales que anticipan todo el curso:

1. 1
   Secuencia constante.

   0,5, 0,5, 0,5, … Tiene promedio perfecto 0,5 y es una pésima secuencia: cero variabilidad, período 1.

2. 2
   Secuencia alternada.

   0, 1, 0, 1, … Parece «equilibrada» pero la correlación entre vecinos es total: sabiendo uno, sabés el siguiente.

3. 3
   LCG didáctico.

   x(n+1) = (5·x(n)+3) mod 16 desde x₀=7: enteros que saltan y uniformes que cubren [0,1) sin orden obvio. Es el que explorarás abajo.

05 · Generación en Python

Tu primer generador escrito a mano

Nada de caja negra: este LCG de juguete cabe en 6 líneas y te deja ver semilla, transición y salida. Con módulo 16 podés seguirlo paso a paso; con módulos reales (millones) haría lo mismo pero ilegible.

def lcg(semilla, a=5, c=3, m=16, n=12):
    x = semilla
    enteros = []
    for _ in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        enteros.append(x)
    uniformes = [x / m for x in enteros]
    return enteros, uniformes


ent, uni = lcg(7)
print("x:", ent)
print("u:", [round(v, 4) for v in uni])

Ejecutalo con semilla 7 y luego con semilla 8: las dos historias difieren desde el primer paso. Eso es sensibilidad a la semilla.

Detectar el período a mano

¿Cuántos valores distintos salen antes de que el estado se repita? Este detector te da el período empírico, anticipo del Tema 10:

def periodo(semilla, a=5, c=3, m=16):
    visto = {}
    x = semilla
    i = 0
    while x not in visto:
        visto[x] = i
        x = (a * x + c) % m
        i += 1
        if i > m + 2:
            break
    return i - visto[x], x


print(periodo(7))

06 · Exploración

Laboratorio: explorador de secuencias

Mové semilla, parámetros y cantidad de valores. La curva muestra u(n) en orden; el panel informa el período empírico detectado. Con módulo 16 verás ciclos cortos a simple vista: esa es la lección.

Cada punto es u(n) = x(n)/m en orden de generación. Si N supera al período, verás el ciclo repetirse calcado.

Preguntas para explorar

1. Con el ejemplo (7, 5, 3, 16) y N = 48, ¿se repite el dibujo? ¿Cada cuántos puntos?
2. Poné a = 4, c = 2, m = 16. ¿Cuántos valores distintos quedan? ¿Qué le haría eso a una simulación?
3. Cambiá solo la semilla de 7 a 8 con buenos parámetros: ¿cambia el período o solo el punto de arranque del ciclo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: generar y graficar con texto

Generá 16 valores con el LCG del ejemplo e imprimí enteros y uniformes lado a lado. Buscá a ojo el momento en que el estado inicial reaparece.

def lcg(semilla, a=5, c=3, m=16, n=16):
    x = semilla
    for i in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        print(i, x, round(x / m, 4))

Ejercicio 2: comparar dos semillas

Generá la secuencia desde 7 y desde 8 con los mismos parámetros. ¿Son distintas secuencias o el mismo anillo rotado?

def secuencia(semilla, a=5, c=3, m=16, n=16):
    x = semilla
    sal = []
    for _ in range(n):
        x = (a * x + c) % m
        sal.append(x)
    return sal


s7 = secuencia(7)
s8 = secuencia(8)
print(s7)
print(s8)
print("comparten valores:", set(s7) == set(s8))

Ejercicio 3: romper el generador

Probá a=4, c=2, m=16 desde varias semillas y medí el período con la función del Tema 4. ¿Qué período máximo lográs?

def periodo(semilla, a, c, m):
    visto = {}
    x = semilla
    i = 0
    while x not in visto:
        visto[x] = i
        x = (a * x + c) % m
        i += 1
    return i - visto[x]


for s in [0, 1, 7, 12]:
    print(s, periodo(s, 4, 2, 16))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema nos concentraremos en la pieza que elige la historia: las semillas, cómo elegirlas, registrarlas y no arruinar tu experimento con ellas.