Variables aleatorias continuas

01 · Punto de partida

Medir no es contar

Contar clientes da 0, 1, 2… Medir el tiempo de atención da 3,42 min, 3,421 min, infinitos decimales. Una variable continua puede tomar cualquier valor en un intervalo: tiempos, pesos, distancias, temperaturas.

La consecuencia clave: P(X = valor exacto) = 0. Lo que tiene probabilidad es el intervalo: P(3 menor a X menor a 4), P(X mayor a 10). En simulación, casi todas las preguntas de riesgo son intervalos: «¿supera el límite?», «¿cae en la ventana?».

• ¿La variable salta o fluye?
• ¿Qué intervalo define el evento que me importa?
• ¿Cómo se reparte la probabilidad a lo largo del rango?
• ¿Cómo genero estos valores en el simulador?

02 · Definición

Densidad, área y puntos de prob. cero

03 · Caso guía: uniforme

La continua más simple para empezar

Soporte

Intervalo donde vive X: [6, 14]. Fuera, densidad 0.

Histograma

Barras de frecuencia con área total 1: aproximan f(x) con datos (tema 29).

Muestreo

random.uniform(6, 14) genera estos valores en el simulador.

Puente

Uniforme es la materia prima del muestreo: de ella nacen las demás (tema 39).

04 · Ejemplos

Continuas de todos los días

1. 1
   Atención.

   X = minutos por cliente, [2, 8]. P(X mayor a 6) define dotación.

2. 2
   Viaje.

   X = minutos de entrega, [20, 50]. P(X menor a 30) es la promesa cumplible.

3. 3
   Demanda.

   X = kilos pedidos, [6, 14]. P(X mayor a stock) es el riesgo de quiebre.

4. 4
   Error.

   X = desvío de medida, campana alrededor de 0. P(|X| mayor a tolerancia) es rechazo.

5. 5
   Vida útil.

   X = horas hasta falla, [0, ∞). P(X menor a garantía) es costo esperado.

05 · Representación en Python

Generar y preguntar por intervalos

import random
random.seed(24)

xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(5000)]
print("media:", round(sum(xs)/len(xs), 3), "| teórica: 10")
print("P(X>10):", round(sum(1 for x in xs if x > 10)/len(xs), 3), "| exacta: 0.5")

Consejo: el punto exacto casi nunca se repite: contá x > 10, no x == 10.

Histograma mental: contar por tramos

import random
random.seed(5)

xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(4000)]
tramos = [(6,8), (8,10), (10,12), (12,14)]
for a, b in tramos:
    p = sum(1 for x in xs if a <= x < b) / len(xs)
    print(f"[{a},{b}):", round(p, 3), "| teórico: 0.25")

06 · Exploración

Laboratorio: histograma de U(6, 14)

Generamos N valores U(6, 14) en 8 tramos de ancho 1. La línea blanca es la densidad exacta 1/8 = 0,125; las barras son densidad del histograma (frecuencia / (N × ancho)). La línea lima marca el umbral T: el área a su derecha es P(X mayor a T).

8 barras de ancho 1 entre 6 y 14. Con pocos datos saltan; con muchos se aplanan en la densidad teórica.

Preguntas para explorar

1. Con N = 100, ¿las barras están niveladas? ¿Y con N = 8000?
2. Mové T a 12. ¿Qué área queda a la derecha? ¿Por qué la estimación salta más?
3. ¿Qué pasaría si el histograma usara 2 tramos en vez de 8? ¿Y 40?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: área a mano

Calculá P(7 menor a X menor a 9) para U(6,14) y verificala con 6000 valores.

import random
random.seed(31)
N = 6000
xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(N)]
print("sim:", round(sum(1 for x in xs if 7 <= x < 9)/N, 3), "| exacta:", (9-7)/8)

Ejercicio 2: el punto no pesa

Contá cuántas veces sale exactamente 10,0 con 10000 uniformes. ¿Qué confirma?

import random
random.seed(2)
xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(10000)]
print("iguales a 10:", sum(1 for x in xs if x == 10.0))

Ejercicio 3: promesa de entrega

Viaje U(20, 50). ¿A cuántos minutos prometer con P(cumplir) ≈ 0,9? Verificalo simulando.

import random
random.seed(14)
# P(X <= t) = (t-20)/30 = 0.9 → t = 47
t = 47
xs = [random.uniform(20, 50) for _ in range(8000)]
print("P(cumple):", round(sum(1 for x in xs if x <= t)/len(xs), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema acumularemos: funciones de distribución F(x) = P(X ≤ x).