Variables aleatorias discretas

01 · Punto de partida

Cuando lo que importa se cuenta

Una variable discreta toma valores aislados: 0, 1, 2… clientes en cola, artículos fallados, compras del día. No hay «2,5 clientes». Su distribución es una tabla: cada valor con su probabilidad p(x).

En simulación son las variables de conteo: llegadas por hora, éxitos en n intentos, piezas defectuosas. Si tu variable cuenta cosas, estás aquí; si mide tiempos o magnitudes, será continua (tema 10).

• ¿Los valores son conteos separados o medidas continuas?
• ¿Cuánto vale p(x) para cada x y suman 1?
• ¿Cuál es el valor más probable y cuál la cola de riesgo?
• ¿Cómo genero estos conteos en el simulador?

02 · Definición

Función de probabilidad p(x)

03 · Conteos típicos

Qué discreta aparece en cada simulador

Bernoulli

0/1 con P(1) = p. El átomo de «éxito o no» (tema 18).

Binomial

Éxitos en n intentos (tema 19). Soporte 0 a n.

Poisson

Eventos por unidad de tiempo/espacio (tema 21). Soporte 0, 1, 2…

Geométrica

Intentos hasta el primer éxito (tema 20). Cola infinita que decae.

04 · Ejemplos

Conteos que vas a simular

1. 1
   Llegadas por hora.

   X = 0, 1, 2… clientes. Define personal necesario por hora.

2. 2
   Defectos por lote.

   X = piezas falladas en 50. Define si el lote se rechaza.

3. 3
   Ventas del día.

   X = compras en 100 visitas. Binomial con p = conversión.

4. 4
   Intentos hasta éxito.

   X = llamadas hasta cerrar. Geométrica: pocos cierran al primero.

5. 5
   Ocupación.

   X = servidores ocupados de 4. Soporte 0 a 4, finito y enumerable.

05 · Representación en Python

Tablas y muestreo de conteos

La tabla es un dict; muestrear es random.choices con pesos. Contar el resultado verifica que la simulación respeta la tabla:

import random
from collections import Counter
random.seed(12)

# X = clientes por hora: tabla valor -> p
pmf = {0: 0.1, 1: 0.25, 2: 0.35, 3: 0.2, 4: 0.1}
xs = random.choices(list(pmf), weights=list(pmf.values()), k=2000)
frec = Counter(xs)
for x in sorted(pmf):
    print(x, "teo:", pmf[x], "| sim:", round(frec[x]/len(xs), 3))

Consejo: con k = 200 la sim salta; con 20000 se pega a la tabla.

Binomial como suma de Bernoulli

import random
random.seed(3)

# X ~ Binomial(n=10, p=0.3): contar éxitos en 10 intentos
def binomial(n=10, p=0.3):
    return sum(1 for _ in range(n) if random.random() < p)

xs = [binomial() for _ in range(3000)]
print("media sim:", round(sum(xs)/len(xs), 2), "| teórica n·p:", 10*0.3)

06 · Exploración

Laboratorio: Binomial(n = 10, p)

Contamos éxitos en 10 intentos con prob. p por intento. Barras claras = p(x) exacta binomial; sólidas = frecuencia simulada. Mové p y mirá cómo la masa viaja de 0 a 10.

11 bastones (0 a 10). Cada par compara probabilidad exacta y frecuencia simulada. La tabla inferior resume media y cola: centro y riesgo de la misma variable.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,5, ¿qué forma tiene? ¿Y con p = 0,1?
2. Con N = 100, ¿qué bastones se desvían más? ¿Por qué los raros saltan más?
3. Si p = 0,3 y k = 8, ¿la cola es grande o chica? ¿Qué decisión tomarías con ese número?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tabla que suma 1

Verificá que la tabla del laboratorio con p = 0,3 suma 1 calculando los 11 términos.

import math
p, n = 0.3, 10
pmf = [math.comb(n, x) * p**x * (1-p)**(n-x) for x in range(n+1)]
print("suma:", round(sum(pmf), 6))
print("P(X=3):", round(pmf[3], 4))

Ejercicio 2: cola derecha

Calculá P(X ≥ 8) exacta y verificala con 10000 réplicas (n = 10, p = 0,3).

import math, random
random.seed(19)
p, n, N = 0.3, 10, 10000
exacta = sum(math.comb(n, x)*p**x*(1-p)**(n-x) for x in range(8, 11))
sim = sum(1 for _ in range(N) if sum(random.random() < p for _ in range(n)) >= 8) / N
print("exacta:", round(exacta, 4), "| sim:", round(sim, 4))

Ejercicio 3: de tabla a decisión

Con 100 visitas y conversión 0,12, ¿P(vender 15 o más)? ¿Conviene prometer 15?

import math
n, p, k = 100, 0.12, 15
print("P(X>=15):", round(sum(math.comb(n,x)*p**x*(1-p)**(n-x) for x in range(k, n+1)), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos lo continuo: variables aleatorias continuas.