Variables aleatorias

01 · Punto de partida

El azar se vuelve operable cuando es número

«Salió (4, 3)» no se puede promediar. Pero X = suma = 7 sí: se suma, se promedia, se grafica. Una variable aleatoria es una función que convierte cada resultado ω en un número X(ω). Es el puente entre eventos (temas 4 a 7) y cálculos (temas 11 a 14).

En tu simulador ya las usás sin nombrarlas: demanda del día, espera del cliente, total vendido, quiebres. Nombrarlas —qué valores toman, con qué probabilidad— es lo que permite elegirles distribución (temas 17 a 24).

• ¿Qué número resume lo que me importa de cada resultado?
• ¿Qué valores puede tomar y con qué probabilidad cada uno?
• ¿Es conteo (discreta) o medida (continua)?
• ¿Cómo la programo para poder promediarla y graficarla?

02 · Definición

Mapeo, valores y distribución

03 · Notación que vas a leer

Mayúsculas, minúsculas y eventos con X

P(X = x)

Probabilidad de que X valga exactamente x. Solo tiene sentido directo en discretas.

P(X mayor a t)

Cola derecha: quiebres, esperas largas, sobrecostos. La métrica de riesgo.

Soporte

Valores posibles de X: {2…12}, [6,14], {0,1}. Delimita el eje del histograma.

Transformación

Y = f(X): costo = 5·X, ganancia = precio·X − fijo. Simular X permite simular Y.

04 · Ejemplos

Variables que ya simulas

1. 1
   Suma de dados.

   X = d₁ + d₂. Soporte 2 a 12, pico en 7. Clásico ejemplo no uniforme desde componentes uniformes.

2. 2
   Venta.

   X = 1 si compra, 0 si no. Promedio = tasa de conversión (Bernoulli, tema 18).

3. 3
   Demanda.

   X ~ U(6, 14). Cada día un valor continuo distinto.

4. 4
   Espera.

   X = minutos en cola. Continua, cola derecha larga: pocos esperan muchísimo.

5. 5
   Ganancia.

   Y = 100·X − 500 con X ventas. Transformación de una variable en decisión de plata.

05 · Representación en Python

X es una función

Programar la variable es escribir qué número sale de cada resultado. Después se mapea la lista completa:

import random
random.seed(17)

def X(tirada):
    d1, d2 = tirada
    return d1 + d2  # suma de dos dados

tiradas = [(random.randint(1,6), random.randint(1,6)) for _ in range(10)]
valores = [X(t) for t in tiradas]
print(valores)
print("promedio:", round(sum(valores)/len(valores), 2))

Consejo: el promedio con 10 tiradas salta; con 10000 se pega a 7 (tema 13).

Indicadora: el evento hecho número

import random
random.seed(6)

# X = 1 si suma >= 9, 0 si no. Promedio = P(suma >= 9)
def X_ind(t):
    return 1 if t[0] + t[1] >= 9 else 0

N = 5000
xs = [X_ind((random.randint(1,6), random.randint(1,6))) for _ in range(N)]
print("P(X=1):", round(sum(xs)/N, 4), "| exacto:", round(10/36, 4))

06 · Exploración

Laboratorio: la suma de dos dados no es uniforme

Simulamos N sumas de dos dados. Barras claras = probabilidad exacta (1−6−…−1 sobre 36); sólidas = frecuencia simulada. Aunque cada dado es uniforme, X = suma tiene forma triangular con pico en 7.

11 valores (2 a 12). Cada par de barras compara teoría y simulación. La tabla inferior resume media y cola: dos lecturas distintas de la misma variable.

Preguntas para explorar

1. Con N = 60, ¿qué valores se desvían más? ¿Y con N = 6000?
2. ¿Por qué el 7 es el más probable si los dados son uniformes?
3. Con k = 12, ¿cuánto vale la cola exacta? ¿Por qué un evento puntual chico exige N grande?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: distribución a mano

Enumerá P(X = 7) para la suma contando pares (d₁, d₂) y verificala con 6000 réplicas.

pares = [(a, b) for a in range(1, 7) for b in range(1, 7)]
print("exacta:", sum(1 for a, b in pares if a + b == 7), "/ 36")

import random
random.seed(8)
N = 6000
print("sim:", sum(1 for _ in range(N) if random.randint(1,6)+random.randint(1,6) == 7) / N)

Ejercicio 2: transformar X en plata

Si Y = 100·X − 200 con X = suma de dados, ¿media exacta de Y? Verificala simulando.

import random
random.seed(9)
N = 8000
ys = [100*(random.randint(1,6)+random.randint(1,6)) - 200 for _ in range(N)]
print("media sim:", round(sum(ys)/N, 1), "| exacta:", 100*7 - 200)

Ejercicio 3: indicadora de cola

Definí X = 1 si la suma es 12, 0 si no. ¿Media exacta? ¿Por qué la simulación con N = 200 salta tanto?

import random
for N, s in [(200, 1), (20000, 1)]:
    random.seed(s)
    print(N, sum(1 for _ in range(N) if random.randint(1,6)+random.randint(1,6) == 12) / N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema detallaremos las variables aleatorias discretas: conteos con tabla de probabilidad.