Ley de los Grandes Números

01 · Punto de partida

El promedio se calma con volumen

Con 10 tiradas el promedio del dado salta entre 2,5 y 4,5. Con 10000 se clava en 3,5. La Ley de los Grandes Números garantiza eso: el promedio muestral x̄ₙ converge a μ cuando n crece, si las réplicas son independientes con igual media y varianza finita.

Es el teorema que sostiene todo el curso: justifica estimar probabilidades con frecuencias, esperados con promedios y decisiones con réplicas (temas 40 a 43).

• ¿Cuántas réplicas para que x̄ se estabilice?
• ¿Qué tan cerca de μ está x̄ con este N?
• ¿Vale para frecuencias (p) y para promedios (μ)?
• ¿Qué puede salir mal si las réplicas no son equivalentes?

02 · Definición

Enunciado operativo

03 · Condiciones y límites

Cuándo vale y qué no promete

Independencia

Réplicas que no se afectan. Si comparten semilla, historia o congestión, la ley no aplica directo.

Igual distribución

Mismo mecanismo cada vez. Si cambia el escenario a mitad, son dos experimentos.

Media finita

Sin E definido no hay a qué converger. Colas extremas piden otro análisis.

Sesgo

La ley estabiliza en E del modelo, no en la verdad: modelo sesgado converge a número equivocado.

04 · Ejemplos

Dónde la invocás sin darte cuenta

1. 1
   Dado.

   x̄ de 30 salta; de 30000 es 3,5. Referencia de manual.

2. 2
   Conversión.

   Con 100 visitas la tasa salta ±5 puntos; con 10000 se define el dígito.

3. 3
   Quiebre.

   P̂ con 200 réplicas orienta; con 5000 publica.

4. 4
   Espera.

   Promedio de 1 día engaña; de 30 días dimensiona personal.

5. 5
   Juego.

   Balance con 100 peleas es anécdota; con 20000 es estadística.

05 · Representación en Python

Ver converger el promedio del dado

import random
random.seed(151)

def promedio(n):
    return sum(random.randint(1, 6) for _ in range(n)) / n

for n in [30, 300, 3000, 30000]:
    print(n, round(promedio(n), 3))

Consejo: ejecutá dos veces con distinta semilla: con 30 difieren décimas, con 30000 centésimas.

Frecuencia que tiende a p

import random
random.seed(16)

# P(suma>=9)=10/36 ≈ 0.278
for n in [50, 500, 5000]:
    ex = sum(1 for _ in range(n) if random.randint(1,6)+random.randint(1,6) >= 9)
    print(n, round(ex/n, 3))

06 · Exploración

Laboratorio: 5 promedios persiguen 3,5

Cada curva es el promedio acumulado de un dado en N tiradas (5 réplicas). La recta blanca es μ = 3,5; la banda es ±σ/√n con σ ≈ 1,71: el abanico teórico donde deben vivir las curvas.

Eje y fijo 2,5 a 4,5 para ver el salto. En log se aprecia la estabilización temprana; en lineal, el detalle final.

Preguntas para explorar

1. Con N = 50, ¿alguna curva está fuera de la banda? ¿Es grave?
2. Pasá a N = 5000. ¿Entran todas? ¿Cuánto vale el rango final?
3. Si σ fuera doble, ¿la banda sería más ancha o angosta? ¿Qué N pedirías?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: banda del dado

Calculá σ/√N para N = 100 y 10000 (σ = 1,71) y verificá que x̄ cae dentro con 5 réplicas.

import random
print("banda100:", round(1.71/100**0.5, 3), "| banda10000:", round(1.71/10000**0.5, 4))
for s in range(5):
    random.seed(s)
    print(s, round(sum(random.randint(1,6) for _ in range(10000))/10000, 3))

Ejercicio 2: N para ±0,01

¿Qué N pide el dado para banda 0,01? Verificalo estimando con ese N.

# sigma/sqrt(N) = 0.01 → N = (1.71/0.01)^2 ≈ 29241
import random
random.seed(99)
N = 29241
print(round(sum(random.randint(1,6) for _ in range(N))/N, 4))

Ejercicio 3: frecuencia de cola

Estimá P(suma = 12) = 1/36 con N = 500 y 50000. ¿Converge igual que la media?

import random
for N, s in [(500, 3), (50000, 3)]:
    random.seed(s)
    print(N, sum(1 for _ in range(N) if random.randint(1,6)+random.randint(1,6)==12)/N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema acotaremos sin suponer forma: desigualdad de Chebyshev.