Distribución uniforme

01 · Punto de partida

Cuando solo sabés el rango

Si lo único confiable es «entre a y b, sin motivo para preferir ningún punto», la uniforme U(a,b) es la elección honesta: densidad plana 1/(b−a), media en el punto medio y varianza (b−a)²/12. Es el punto de partida antes de calibrar formas (tema 25).

Además es la materia prima del muestreo: random() da U(0,1) y de ahí, transformando, nacen exponenciales, normales y discretas (tema 39).

• ¿Hay razón para preferir algún subintervalo? Si no, uniforme.
• ¿a y b son límites físicos o supuestos?
• ¿Qué media y varianza impone este rango?
• ¿Cómo la muestreo y la verifico?

02 · Definición

Fórmulas y dos versiones

03 · Cuándo usarla (y cuándo no)

Honesta por defecto, ingenua por exceso

Sorteo

Dado, ruleta, muestreo aleatorio simple: uniforme discreta por diseño.

Prior

Ignorancia simétrica inicial que los datos refinan (temas 27 y 32).

Error típico

Usarla para tiempos con moda clara (casi todo tarda ~X): pide triangular o normal.

Verificación

Histograma plano + media en el medio + varianza (b−a)²/12: triple test.

04 · Ejemplos

Uniformes de todos los días

1. 1
   Llegada en la hora.

   Sin picos: minuto ~ U(0,60). P(cae en 10 min) = 1/6.

2. 2
   Demanda.

   U(6,14): P(mayor a 12) = 2/8 = 0,25.

3. 3
   Sorteo.

   100 números: P(ganar) = 1/100. Discreta equiprobable.

4. 4
   Ruido.

   Error ±3 sin sesgo: U(−3,3) centra en 0 con Var = 3.

5. 5
   Base.

   U(0,1) → exponencial, normal, binomial vía transformaciones (tema 39).

05 · Representación en Python

Muestrear y escalar U(0,1)

import random, statistics
random.seed(171)
a, b = 6, 14
xs = [random.uniform(a, b) for _ in range(6000)]
print("media:", round(statistics.mean(xs), 3), "| teo:", (a+b)/2)
print("var:", round(statistics.variance(xs), 3), "| teo:", round((b-a)**2/12, 3))

Consejo: random.uniform es a + (b−a)*random(): la fórmula de escalado explícita.

Discreta equiprobable

import random
random.seed(17)
xs = [random.randint(1, 6) for _ in range(6000)]
print("P(6):", round(sum(1 for x in xs if x==6)/len(xs), 3), "| teo: 0.167")

06 · Exploración

Laboratorio: U(a, b) a medida

Elegí a y b: las barras son el histograma normalizado de N valores; la línea blanca, la densidad exacta 1/(b−a). La franja lima es el tercio central: su área siempre vale 1/3, esté donde esté.

Eje x de 0 a 20 en 20 tramos. Fuera de [a,b] no hay masa; dentro, plana.

Preguntas para explorar

1. Achicá a [9, 11]. ¿Qué pasa con la altura? ¿Y con la varianza?
2. Con N = 100, ¿las barras están niveladas? ¿Y con 8000?
3. ¿Cuánto vale P(tercio central) en teoría? Verificalo con cualquier [a,b].

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: fórmulas a mano

Para U(20,50), calculá E, Var y P(X menor a 30). Verificá con 6000 valores.

import random
random.seed(171)
a, b = 20, 50
xs = [random.uniform(a, b) for _ in range(6000)]
print("E:", (a+b)/2, "| sim:", round(sum(xs)/len(xs), 2))
print("P(X<30):", (30-a)/(b-a), "| sim:", round(sum(1 for x in xs if x < 30)/len(xs), 3))

Ejercicio 2: escalar U(0,1)

Generá U(6,14) escalando random() a mano y compará medias.

import random
random.seed(5)
a, b = 6, 14
xs = [a + (b-a)*random.random() for _ in range(4000)]
print(round(sum(xs)/len(xs), 3))

Ejercicio 3: ¿plana o no?

Con datos [7,9,10,10,11,13] (media 10), ¿uniforme U(6,14) es razonable? ¿Qué mirarías con más datos?

# Con 6 datos no se decide; con 600 se mira histograma:
# ¿plano o concentrado? ¿colas o cortes?
print("media 6 datos:", round(sum([7,9,10,10,11,13])/6, 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema, el átomo del sí/no: distribución de Bernoulli.