Distribución geométrica

01 · Punto de partida

Contar hasta que sale

Llamás hasta cerrar, reintentás hasta que responde, tirás hasta el primer 6: X = número de intentos hasta el primer éxito con p por intento. Vale 1, 2, 3… sin tope, con forma que decae: lo más probable es salir al primero, pero a veces tarda muchísimo.

Su media es 1/p: con p = 0,1 tardás 10 intentos en promedio. Y no tiene memoria: 5 fracasos no acercan el éxito (tema 7).

• ¿p es igual en cada intento?
• ¿Cuento intentos (1,2…) o fracasos previos (0,1…)?
• ¿Cuántos intentos presupuesto para 90 % de éxito?
• ¿El sistema reintenta igual tras cada falla?

02 · Definición

Masa, colas y dos versiones

03 · Sin memoria

El pasado no acerca

Reintento

Mismo p tras cada falla: timeouts, rediscado, reenvíos. Si el sistema aprende o se cansa, p cambia y no es geométrica pura.

Cuantil

Intentos para 90 %: k con (1−p)ᵏ = 0,1. Con p = 0,1, k ≈ 22. Se presupuesta con colas, no con la media.

Exponencial

Su prima continua (tema 22) también es sin memoria: el tiempo restante no depende del esperado.

Chequeo

p igual e independencia por intento. Si p deriva, es mezcla, no geométrica.

04 · Ejemplos

Esperas en intentos

1. 1
   Ventas.

   Cierre p = 0,1 por llamada: media 10 llamadas, 22 para 90 % de un cierre.

2. 2
   Red.

   Paquete llega con p = 0,9: media 1,11 envíos. Reintentos baratos.

3. 3
   Juego.

   Drop p = 0,05: media 20 cofres. El 10 % abre más de 45.

4. 4
   Soporte.

   Cliente reintenta con p = 0,3: media 3,3 llamadas hasta resolver.

5. 5
   Calidad.

   Pieza buena con p = 0,98: casi siempre 1, a veces 2 o 3.

05 · Representación en Python

Contar hasta el éxito

import random
random.seed(201)
p, N = 0.2, 5000

def geometrica(p):
    x = 1
    while random.random() >= p:
        x += 1
    return x

xs = [geometrica(p) for _ in range(N)]
print("media:", round(sum(xs)/N, 2), "| teo:", 1/p)
print("P(X>10):", round(sum(1 for x in xs if x > 10)/N, 3), "| teo:", round(0.8**10, 3))

Consejo: el while es literalmente «reintentar hasta éxito»: así se programa en el simulador.

Cuantil 90 % por fórmula

import math
p = 0.1
k90 = math.log(0.1) / math.log(1-p)
print("intentos para 90%:", math.ceil(k90))

06 · Exploración

Laboratorio: decaimiento geométrico

Bastones 1 a 15 (el resto se agrega en «16+»): claros = (1−p)ˣ⁻¹p; sólidos = frecuencia de N simulaciones. Bajá p y mirá cómo la cola se alarga.

16 bastones (1…15 y 16+). La franja lima marca la cola X mayor a k.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,8, ¿dónde está casi toda la masa? ¿Y con p = 0,1?
2. Con p = 0,2 y k = 10, ¿la cola es grande o chica? Compará con la tabla de la sección 02.
3. Si p = 0,05, ¿cuántos intentos para 90 %? ¿Te sorprende frente a la media 20?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: masa que decae

Con p = 0,3, calculá P(X = 1, 2, 3) exacta y verificala con 6000 simulaciones.

p = 0.3
print([round((1-p)**(x-1)*p, 4) for x in [1, 2, 3]])
import random
random.seed(20)
xs = []
for _ in range(6000):
    x = 1
    while random.random() >= p: x += 1
    xs.append(x)
print([round(sum(1 for v in xs if v==x)/len(xs), 4) for x in [1, 2, 3]])

Ejercicio 2: cuantil 95 %

Con p = 0,2, ¿intentos para 95 % de al menos un éxito?

import math
p = 0.2
print(math.ceil(math.log(0.05)/math.log(1-p)))

Ejercicio 3: reintentos con tope

Si el sistema reintenta hasta 5 veces con p = 0,3, ¿P(fracaso total)? Verificá simulando.

import random
random.seed(33)
p, tope, N = 0.3, 5, 8000
print("teo:", round((1-p)**tope, 4))
print("sim:", round(sum(1 for _ in range(N) if all(random.random() >= p for _ in range(tope)))/N, 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema contaremos eventos en tiempo: distribución de Poisson.