Distribución de Poisson

01 · Punto de partida

Cuántos llegan en una hora

Binomial cuenta en n fijo; Poisson(λ) cuenta en tiempo o espacio continuo: llegadas por hora, fallas por día, clics por minuto. Solo pide la tasa λ: promedio por unidad. Su gracia: E = Var = λ.

Vale cuando los eventos son raros, independientes y a tasa pareja (sin picos). Si hay hora pico, se parte en tramos con λ por tramo.

• ¿Cuento en n fijo o en tiempo/espacio?
• ¿Cuánto vale λ por unidad y en qué ventana?
• ¿La tasa es pareja o hay picos?
• ¿Qué cola P(X ≥ k) dimensiona personal o stock?

02 · Definición

Masa, centro y escala con λ

03 · Chequeo Poisson

Tres condiciones antes de usarla

Raros

Prob. de dos a la vez despreciable en dt chico. Si llegan de a tandas, no es Poisson simple.

Independientes

Uno no atrae otro. Contagios y modas rompen el supuesto.

Tasa constante

λ parejo en la ventana. Con picos, partir en ventanas con λ propio.

Binomial → Poisson

Con n grande y p chico, Bin(n,p) ≈ Poisson(np). Puente entre conteo fijo y temporal.

04 · Ejemplos

Tasas que dimensionan

1. 1
   Cola.

   8 clientes/hora: P(12 o más) ≈ 0,1. Define el cajero extra.

2. 2
   Soporte.

   2 fallas/día: P(0) = e⁻² ≈ 0,135. Días tranquilos escasos.

3. 3
   Web.

   120 visitas/hora: en 10 min λ = 20. Escala la ventana.

4. 4
   Calidad.

   3 defectos por rollo: P(0) ≈ 0,05. Casi todo rollo trae alguno.

5. 5
   Juego.

   Eventos raros por minuto (bonus): Poisson chico con muchos ceros.

05 · Representación en Python

Generar Poisson con el método de Knuth

import math, random
random.seed(211)

def poisson(lam):
    # Knuth: contar uniformes hasta que el producto cae bajo e^-lam
    L = math.exp(-lam)
    k, p = 0, 1.0
    while True:
        k += 1
        p *= random.random()
        if p <= L:
            return k - 1

xs = [poisson(5) for _ in range(4000)]
print("media:", round(sum(xs)/len(xs), 2), "| teo: 5")
print("P(X>=8):", round(sum(1 for x in xs if x >= 8)/len(xs), 3))

Consejo: Knuth sirve hasta λ ~ 20; con λ grande conviene normal como aproximación o librería.

Exacta por fórmula

import math
lam = 5
pmf = [math.exp(-lam)*lam**k/math.factorial(k) for k in range(11)]
print("suma 0-10:", round(sum(pmf), 4))
print("P(5):", round(pmf[5], 4))

06 · Exploración

Laboratorio: Poisson(λ) a medida

Mové λ: claros = e^−λλᵏ/k!; sólidos = frecuencia de N simulaciones (Knuth). La franja lima es la cola X ≥ k. Con λ chico todo se aplasta en 0; con λ grande aparece la campana discreta.

Eje x 0 a 25. Con λ = 15 la masa llega lejos; con 0,5 casi todo es 0 o 1.

Preguntas para explorar

1. Con λ = 1, ¿cuánto vale P(0)? ¿Y la media vs varianza simuladas?
2. Con λ = 10 y k = 15, ¿la cola es grande o chica?
3. Duplicá la ventana (λ → 2λ). ¿Qué pasa con media y desvío?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: hora pico

Con λ = 8/hora, calculá P(12 o más) exacta (suma 0–11) y verificala con 6000 simulaciones.

import math, random
lam = 8
exacta = 1 - sum(math.exp(-lam)*lam**k/math.factorial(k) for k in range(12))
print("exacta:", round(exacta, 3))
random.seed(211)
def poisson(lam):
    L, k, p = math.exp(-lam), 0, 1.0
    while True:
        k += 1; p *= random.random()
        if p <= L: return k-1
print("sim:", round(sum(1 for _ in range(6000) if poisson(lam) >= 12)/6000, 3))

Ejercicio 2: escalar ventana

Si λ = 120/hora, ¿λ en 10 min? ¿Media y σ en esa ventana?

lam10 = 120/6
print(lam10, lam10**0.5)

Ejercicio 3: día sin fallas

Con 2 fallas/día, ¿P(0 en un día)? ¿Y en 3 días seguidos si son independientes?

import math
print("P(0|1 día):", round(math.exp(-2), 3))
print("P(0|3 días):", round(math.exp(-6), 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos el tiempo entre eventos: distribución exponencial.