Distribución exponencial

01 · Punto de partida

Cuánto falta, sin importar cuánto pasó

Poisson cuenta eventos por hora; exponencial mide el tiempo entre ellos. Si llegan λ = 5 por hora, la espera al próximo es Exp(5) con media 12 min. Y no tiene memoria: esperar 10 min no acerca el próximo (como la geométrica en intentos).

Es la distribución de colas y servicios por defecto: llegadas, atenciones, fallas con tasa pareja. Cuando la tasa cambia con la edad o la hora, se parte en tramos o se cambia de modelo (Weibull, gamma).

• ¿Mido conteos (Poisson) o tiempos (exponencial)?
• ¿Cuánto vale λ (eventos por unidad) y 1/λ (espera media)?
• ¿La espera restante depende de lo ya esperado?
• ¿Qué cola P(X mayor a t) = e^−λt dimensiona?

02 · Definición

Densidad que decae y su vínculo Poisson

03 · Sin memoria en tiempo

Esperar no acerca

Chequeo

Histograma que decae desde 0 + media ≈ desvío (E = σ = 1/λ). Si media ≠ s, sospechar.

Mediana

ln2/λ ≈ 0,69/λ: menor a la media. La mitad espera menos que el promedio (cola tira).

Mínimo

Mínimo de exponenciales es exponencial con λ suma: útil para «primero que llega».

Suma

Suma de k Exp(λ) es Erlang/gamma (tema 24): de esperas simples a procesos por etapas.

04 · Ejemplos

Esperas que se simulan Exp

1. 1
   Cola.

   Llegadas 8/hora: espera media 7,5 min. P(más de 15) = e⁻² ≈ 0,135.

2. 2
   Caja.

   Atención λ = 12/hora: media 5 min. Base del modelo M/M/1.

3. 3
   Soporte.

   Fallas λ = 0,1/día: media 10 días entre fallas.

4. 4
   Red.

   Reintento con espera media 2 s: timeouts sin memoria.

5. 5
   Juego.

   Bonus que cae con tasa pareja: esperas cortas comunes, largas raras.

05 · Representación en Python

Una línea por espera

import random, statistics
random.seed(221)
lam = 0.5  # por minuto → media 2 min
xs = [random.expovariate(lam) for _ in range(6000)]
print("media:", round(statistics.mean(xs), 3), "| teo:", 1/lam)
print("s:", round(statistics.stdev(xs), 3), "| teo:", 1/lam)
print("P(X>4):", round(sum(1 for x in xs if x > 4)/len(xs), 3))

Consejo: expovariate(λ) pide tasa, no media: error clásico pasarle 1/λ invertido.

Inversa a mano

import math, random
random.seed(7)
lam = 2.0
xs = [-math.log(1-random.random())/lam for _ in range(4000)]
print(round(sum(xs)/len(xs), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: espera con tasa ajustable

Fijá λ (por min): barras = histograma normalizado de N esperas; curva blanca = λe^−λx. La línea lima es el umbral T: el área a su derecha es P(X mayor a T) = e^−λT.

Eje x 0 a 12 min en 12 tramos. Subí λ y la masa se pega a 0; bajalo y la cola se alarga.

Preguntas para explorar

1. Con λ = 0,5, ¿media y s cuánto dan? ¿Por qué coinciden?
2. Con T = 4 y λ = 0,5, ¿la cola cuánto vale? Verificá e⁻².
3. Duplicá λ a 1. ¿La media se parte a la mitad? ¿Y la cola con igual T?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: cola de espera

Llegadas λ = 8/hora. ¿P(esperar más de 15 min)? Calculá e^−λt con t en horas y verificá.

import math, random
lam = 8  # /hora
t = 0.25
print("teo:", round(math.exp(-lam*t), 3))
random.seed(221)
xs = [random.expovariate(lam) for _ in range(8000)]
print("sim:", round(sum(1 for x in xs if x > t)/len(xs), 3))

Ejercicio 2: firma E = σ

Con λ = 2, verificá que media y desvío rondan 0,5 con 6000 muestras.

import random, statistics
random.seed(11)
xs = [random.expovariate(2) for _ in range(6000)]
print(round(statistics.mean(xs), 3), round(statistics.stdev(xs), 3))

Ejercicio 3: mínimo de dos

Dos servidores Exp(3/hora) independientes: ¿distribución del primero libre? Verificá la media simulando mínimos.

import random
random.seed(31)
mins = [min(random.expovariate(3), random.expovariate(3)) for _ in range(8000)]
print("media mín:", round(sum(mins)/len(mins), 3), "| teo 1/6 =", round(1/6, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema, la campana: distribución normal.