Probabilidad y Estadística · Tema 32

Estimación de parámetros

Aproximar el parámetro con datos: estimadores puntuales por familia, qué los hace buenos y con qué error vienen.

01 · Punto de partida

Del dato al número del modelo

El modelo pide p, λ, μ, σ; los datos dan x̄, f, s. Estimar es conectar ambos: p̂ = éxitos/n, λ̂ = conteo/tiempo, μ̂ = x̄, σ̂ = s. Un buen estimador es insesgado (centra en θ), consistente (se pega con n) y con error conocido (SE).

Estimar sin error es la mitad: la otra mitad es el intervalo (tema 33). Todo θ̂ viaja con su precisión.

  • ¿Qué fórmula estima cada parámetro?
  • ¿Tiene sesgo? ¿Se achica con n?
  • ¿Cuál es su error estándar?
  • ¿n alcanza para la precisión que necesito?

02 · Definición

Recetas por familia y calidades

θ̂

Recetas

p̂ = éxitos/n; λ̂ = N/t; μ̂ = x̄; σ̂² = s². Momentos: igualar teórico a muestral.

0+B

Sesgo

E[θ̂] − θ. s² con /(n−1) es insesgada; con /n subestima un poco. Con n grande da igual.

SE

Error estándar

Desvío del estimador: SE(p̂) = √(p(1−p)/n); SE(x̄) = s/√n. Mide la puntería.

Estimador, calidad y error por parámetro.
θθ̂SE
péxitos/n√(p(1−p)/n)
λ (Poisson)N/t√(λ/t)
μx̄s/√n
λ (Exp)1/x̄λ/√n aprox.

03 · Métodos sin fórmulas feas

Momentos e intuición verosímil

Momentos

Igualar promedios

E[X] = x̄, Var = s² y despejar. Da p̂, λ̂, μ̂, σ̂ de una: simple y suficiente para simular.

Verosimilitud

Elegir lo más probable

El θ que hace los datos más probables. Coincide con momentos en p, λ, μ; afina en formas (gamma, Weibull).

Consistencia
Con n → ∞, θ̂ → θ. Sin ella el estimador no sirve aunque sea elegante.
Eficiencia
Entre insesgados, el de menor varianza. Menos datos para igual precisión.
Robustez
Mediana y percentiles aguantan atípicos; x̄ y s no. Elegir según datos.
n
Todo SE cae con √n: la precisión se compra con datos (tema 42).

04 · Ejemplos

θ̂ que calibran modelos

Datos→θ̂ ± SE→Modelo
  1. 1
    Conversión.

    240/2000 = 0,12 ± 0,007. p̂ con n explícito.

  2. 2
    Llegadas.

    320 en 40 h → λ̂ = 8/hora ± 0,45.

  3. 3
    Atención.

    x̄ = 4, s = 1, n = 120 → μ̂ = 4 ± 0,09.

  4. 4
    Espera.

    x̄ = 2 min → λ̂ = 0,5/min. Tasa como inversa.

  5. 5
    Demanda.

    â = mín, b̂ = máx con cuidado: extremos subestiman el rango real.

05 · Representación en Python

Estimar con 3 líneas por parámetro

Python en tu navegador. Cada θ̂ con su SE.

import random, statistics, math
random.seed(321)
# p verdadera 0.3, n=800
xs = [1 if random.random() < 0.3 else 0 for _ in range(800)]
p = sum(xs)/len(xs)
print("p̂:", round(p, 3), "| SE:", round(math.sqrt(p*(1-p)/len(xs)), 4))

Consejo: el SE usa p̂ dentro: es estimado también, válido con n moderado.

λ y μ con SE

import random, statistics
random.seed(12)
# Poisson(8): 40 horas simuladas como 40 conteos
hs = []
for _ in range(40):
    import math
    L, k, q = math.exp(-8), 0, 1.0
    while True:
        k += 1; q *= random.random()
        if q <= L: hs.append(k-1); break
print("λ̂:", round(sum(hs)/len(hs), 2))

06 · Exploración

Laboratorio: p̂ persigue p

Verdadero p ajustable. Cada curva es p̂ acumulado de una réplica (5); la banda es ±2·SE(n) = ±2√(p(1−p)/n). Subí N y las 5 entran; bajá p a 0,05 y mirá cómo el error relativo crece.

EXPERIMENTO 32

p̂(n) → p

p̂ = éxitos/n · SE = √(p(1−p)/n)

Los resultados numéricos aparecen debajo.
p̂ final (promedio)0,000
Sesgo (p̂−p)0,000
SE teórico0,000
Rango réplicas0,000

Con n grande, las 5 viven dentro de la banda.

Eje y 0 a 1. La recta blanca es p; la banda sombreada, su ±2SE que se angosta con n.

Preguntas para explorar

  1. Con p = 0,5 y n = 30, ¿el rango entre réplicas cuánto da? ¿Y con n = 3000?
  2. Con p = 0,05, ¿el error absoluto es chico pero el relativo? ¿Qué n pedirías?
  3. ¿p̂ tiene sesgo visible? ¿Por qué promedia p?
Ver respuestas sugeridas
  1. ±0,15 vs ±0,02: 100× datos para 10× precisión en el rango.
  2. Absoluto ±0,01 parece poco, pero es ±20 % relativo. Tasas raras piden miles (tema 42).
  3. No: E[p̂] = p (insesgado). El promedio de réplicas centra en la recta.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«Estimar es calcular exacto»

No: es aproximar con error. θ̂ sin SE es la mitad del informe.

«Insesgado significa exacto»

Significa centrado en promedio, no clavado. Cada muestra se desvía; el promedio de muestras centra.

«s con /n o /(n−1) da igual»

Con n chico no: /n sesga hacia abajo. Usar /(n−1) (motivo del Bessel) o n grande.

«MLE siempre supera momentos»

En p, λ, μ coinciden. MLE brilla en formas (k, σ con censura); momentos bastan para simular rápido.

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: p̂ con SE

Con 132 éxitos en 1100, estimá p y su SE. ¿Margen 95 % ≈ ±2SE?

import math
p, n = 132/1100, 1100
print("p̂:", round(p,4), "| SE:", round(math.sqrt(p*(1-p)/n),4))
Ver solución razonada

p̂ = 0,12, SE ≈ 0,0098: 0,12 ± 0,02 al 95 %. Así se informa una tasa.

Ejercicio 2: λ̂ por ventana

Con 410 llegadas en 50 horas, estimá λ/hora y su SE = √(λ/t).

import math
lam = 410/50
print(lam, round((lam/50)**0.5, 3))
Ver solución

8,2 ± 0,405. Ventanas largas afinan: SE cae con √t.

Ejercicio 3: sesgo de 1/x̄

Con Exp(λ = 0,5) y n = 10 vs 500, compará λ̂ = 1/x̄. ¿Sesgo visible?

Ver una posible respuesta 
import random
for n, s in [(10, 1), (500, 1)]:
    random.seed(s)
    xs = [random.expovariate(0.5) for _ in range(n)]
    print(n, round(1/(sum(xs)/n), 3))

Con 10 suele dar mayor a 0,5 (sesgo arriba); con 500 se pega. Inversas con n chico sesgan: agrandar o corregir.

09 · Síntesis

Ideas para recordar

  • p̂ = éxitos/n, λ̂ = N/t, μ̂ = x̄, σ̂ = s.
  • Bueno = insesgado + consistente + SE conocido.
  • Todo SE cae con √n: la precisión se compra.
  • En Python: tupla (θ̂, SE, n) por parámetro.
  • El intervalo viene después (tema 33): θ̂ es el centro.

En el próximo tema pondremos bandas: intervalos de confianza.