Distribuciones empíricas

01 · Punto de partida

Si los datos alcanzan, los datos mandan

Cuando ninguna teórica cierra (mezclas, picos raros) o cuando hay miles de observaciones, lo más honesto es simular con los datos mismos: sortear con reposición de lo observado. Es la distribución empírica: cada dato con probabilidad 1/n.

Su ECDF es escalera con saltos 1/n; su histograma es el de la muestra. Con n grande estima F real (temas 11 y 15); con n chico repite sus huecos: remuestrear no inventa lo no visto.

• ¿Ninguna teórica cierra o hay datos de sobra?
• ¿n alcanza para cubrir colas y combinaciones?
• ¿El futuro se parece a la ventana medida?
• ¿Cómo sorteo de la lista en el simulador?

02 · Definición

ECDF, histograma y remuestreo

03 · Cuándo usarla

Datos que alcanzan vs teoría que conviene

Límite

Jamás genera lo no visto: máximo simulado = máximo observado. Colas fuera requieren teoría.

Suavizado

Con n medio, histograma + núcleo suaviza dientes sin imponer familia.

Bootstrap

Re-muestrear para medir error de x̄, mediana o cuantil sin fórmulas (adelanto tema 42).

Trazabilidad

Guardar dataset + semilla: la empírica se audita mostrando los datos.

04 · Ejemplos

Datos como generador

1. 1
   Demanda.

   12 demandas remuestreadas para 30 días: respeta picos sin suponer uniforme.

2. 2
   Atención.

   300 tiempos sorteados: mezcla mañana/tarde intacta.

3. 3
   Llegadas.

   Minuto a minuto observado: reproduce hora pico sin λ por tramo.

4. 4
   Fallos.

   Historial de fallas como escenarios: lo raro observado se repite con su frecuencia.

5. 5
   Juego.

   Tiempos reales de partida remuestreados para balancear sin teoría.

05 · Representación en Python

choice es el generador empírico

import random
random.seed(301)
datos = [6.5,7.2,8.1,8.8,9.3,9.9,10.4,11.0,11.8,12.5,13.1,13.8]

sim = [random.choice(datos) for _ in range(5000)]
print("media datos:", round(sum(datos)/len(datos), 2))
print("media sim:", round(sum(sim)/len(sim), 2))
print("P(X>11):", round(sum(1 for x in sim if x > 11)/len(sim), 3))

Consejo: con 12 datos la sim solo repite esos 12: el histograma tiene huecos reales.

ECDF a mano

datos = sorted([6.5,7.2,8.1,8.8,9.3,9.9,10.4,11.0,11.8,12.5,13.1,13.8])
def F_emp(x):
    return sum(1 for v in datos if v <= x)/len(datos)
print("F(10):", round(F_emp(10), 3), "| F(12):", round(F_emp(12), 3))

06 · Exploración

Laboratorio: remuestrear 12 demandas

Datos fijos (tabla sección 02). Barras claras = histograma original (8 tramos 6–14); sólidas = histograma de N sorteos choice. La ECDF blanca es de los 12; las de colores, de 3 remuestreos. Subí N y las sólidas calcan las claras… con sus huecos.

En ECDF se ven las escaleras: la blanca de 12 escalones y las simuladas que la calcan con dientes.

Preguntas para explorar

1. Con N = 6000, ¿aparece algún valor fuera de los 12? ¿Por qué?
2. ¿P(X mayor a 14) simulada cuánto da? ¿Y la realista con teoría?
3. ¿Cuándo conviene empírica y cuándo ajustar uniforme/normal (tema 34)?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: media que se hereda

Verificá que la media remuestreada tiende a 10,2 con N = 200 y 10000.

import random
datos = [6.5,7.2,8.1,8.8,9.3,9.9,10.4,11.0,11.8,12.5,13.1,13.8]
for N, s in [(200, 1), (10000, 1)]:
    random.seed(s)
    print(N, round(sum(random.choice(datos) for _ in range(N))/N, 2))

Ejercicio 2: techo empírico

¿Máximo simulado en 5000 sorteos? ¿P(X mayor a 13,8)?

import random
random.seed(2)
datos = [6.5,7.2,8.1,8.8,9.3,9.9,10.4,11.0,11.8,12.5,13.1,13.8]
sim = [random.choice(datos) for _ in range(5000)]
print(max(sim), sum(1 for x in sim if x > 13.8)/len(sim))

Ejercicio 3: bootstrap de la media

Re-muestreá medias de 12 (con reposición) 2000 veces y mirá su dispersión: error de la media sin fórmulas.

import random, statistics
random.seed(9)
datos = [6.5,7.2,8.1,8.8,9.3,9.9,10.4,11.0,11.8,12.5,13.1,13.8]
medias = [statistics.mean(random.choices(datos, k=12)) for _ in range(2000)]
print("media:", round(statistics.mean(medias), 2), "| s:", round(statistics.stdev(medias), 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema resumiremos corridas: estadísticos descriptivos en simulaciones.